Решите неравенство: sqrt(7x - 13) - sqrt(3x - 19) > sqrt(5x - 27).

Задача №17242: Неравенства

ОДЗ: $7 x - 13 ⩾ 0, 3 x - 19 ⩾ 0, 5 x - 27 ⩾ 0 \Rightarrow x ⩾ \frac{19}{3} .$

На ОДЗ $7 x - 13 > 3 x - 19,$ поэтому $7 x - 13 > 3 x - 19,$ и левая часть неотрицательна. Перепишем:

7 x - 13 > 3 x - 19 + 5 x - 27 .

Обе части неотрицательны — возводим в квадрат:

7 x - 13 > (3 x - 19) + (5 x - 27) + 2 (3 x - 19) (5 x - 27),

7 x - 13 > 8 x - 46 + 2 (3 x - 19) (5 x - 27),

33 - x > 2 (3 x - 19) (5 x - 27) .

Правая часть неотрицательна, значит обязательно $x < 33 .$ На этом промежутке возводим в квадрат:

(33 - x)^{2} > 4 (3 x - 19) (5 x - 27),

1089 - 66 x + x^{2} > 4 (15 x^{2} - 126 x + 513),

1089 - 66 x + x^{2} > 60 x^{2} - 504 x - \dots

Аккуратно раскроем:

4 (3 x - 19) (5 x - 27) = 4 (15 x^{2} - 81 x - 95 x + 513) = 4 (15 x^{2} - 176 x + 513) = 60 x^{2} - 704 x + 2052.

Тогда

1089 - 66 x + x^{2} > 60 x^{2} - 704 x + 2052,

0 > 59 x^{2} - 638 x + 963, 59 x^{2} - 638 x + 963 < 0.

Корни квадратного трёхчлена:

D = 63 8^{2} - 4 \cdot 59 \cdot 963 = 407044 - 227268 = 179776 = 42 4^{2} .

Тогда

x_{1, 2} = \frac{638 \pm 424}{118} = ⎩ ⎨ ⎧ 9, \frac{107}{59} .

Неравенство выполнено при $\frac{107}{59} < x < 9 .$

Пересечение с ОДЗ $x ⩾ \frac{19}{3}$ и $x < 33 :$ $\frac{19}{3} ⩽ x < 9$ (т.к. $\frac{19}{3} \approx 6, 33 > \frac{107}{59} \approx 1, 81$ ).

Проверка границ. При $x = \frac{19}{3}$ имеем $3 \cdot \frac{19}{3} - 19 = 0,$ значит исходное неравенство

7 \cdot \frac{19}{3} - 13 > 5 \cdot \frac{19}{3} - 27 \Leftrightarrow \frac{94}{3} > \frac{14}{3}

верно. Значит $x = \frac{19}{3}$ входит. При $x = 9 :$ $50 - 8 = 2 (5 - 2) = 32 = 18,$ то есть равенство — не входит.

Ответ: $x \in [\frac{19}{3}; 9) .$

ОДЗ: $7 x - 13 ⩾ 0, 3 x - 19 ⩾ 0, 5 x - 27 ⩾ 0 \Rightarrow x ⩾ \frac{19}{3} .$

На ОДЗ $7 x - 13 > 3 x - 19,$ поэтому $7 x - 13 > 3 x - 19,$ и левая часть неотрицательна. Перепишем:

7 x - 13 > 3 x - 19 + 5 x - 27 .

Обе части неотрицательны — возводим в квадрат:

7 x - 13 > (3 x - 19) + (5 x - 27) + 2 (3 x - 19) (5 x - 27),

7 x - 13 > 8 x - 46 + 2 (3 x - 19) (5 x - 27),

33 - x > 2 (3 x - 19) (5 x - 27) .

Правая часть неотрицательна, значит обязательно $x < 33 .$ На этом промежутке возводим в квадрат:

(33 - x)^{2} > 4 (3 x - 19) (5 x - 27),

1089 - 66 x + x^{2} > 4 (15 x^{2} - 126 x + 513),

1089 - 66 x + x^{2} > 60 x^{2} - 504 x - \dots

Аккуратно раскроем:

4 (3 x - 19) (5 x - 27) = 4 (15 x^{2} - 81 x - 95 x + 513) = 4 (15 x^{2} - 176 x + 513) = 60 x^{2} - 704 x + 2052.

Тогда

1089 - 66 x + x^{2} > 60 x^{2} - 704 x + 2052,

0 > 59 x^{2} - 638 x + 963, 59 x^{2} - 638 x + 963 < 0.

Корни квадратного трёхчлена:

D = 63 8^{2} - 4 \cdot 59 \cdot 963 = 407044 - 227268 = 179776 = 42 4^{2} .

Тогда

x_{1, 2} = \frac{638 \pm 424}{118} = ⎩ ⎨ ⎧ 9, \frac{107}{59} .

Неравенство выполнено при $\frac{107}{59} < x < 9 .$

Пересечение с ОДЗ $x ⩾ \frac{19}{3}$ и $x < 33 :$ $\frac{19}{3} ⩽ x < 9$ (т.к. $\frac{19}{3} \approx 6, 33 > \frac{107}{59} \approx 1, 81$ ).

Проверка границ. При $x = \frac{19}{3}$ имеем $3 \cdot \frac{19}{3} - 19 = 0,$ значит исходное неравенство

7 \cdot \frac{19}{3} - 13 > 5 \cdot \frac{19}{3} - 27 \Leftrightarrow \frac{94}{3} > \frac{14}{3}

верно. Значит $x = \frac{19}{3}$ входит. При $x = 9 :$ $50 - 8 = 2 (5 - 2) = 32 = 18,$ то есть равенство — не входит.

Ответ: $x \in [\frac{19}{3}; 9) .$