Задача №17236

В квадрате $ABCD$ построена окружность с центром в точке $A\text{,}$ радиусом, равным стороне квадрата, и окружность с центром в точке $C\text{,}$ радиусом, равным половине стороны квадрата. Окружности пересекаются в точках $M$ и $N\text{.}$
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону $BC$ в отношении $3:5\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$
б) Найдите площадь четырёхугольника $AMCN\text{,}$ если площадь квадрата равна $8\text{.}$

а) Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $R\text{,}$ тогда радиусы окружностей равны $R$ (с центром в $A$) и $\frac{R}{2}$ (с центром в $C$). Диагональ квадрата $AC=R\sqrt{2}\text{.}$

Рассмотрим $△AMC\text{,}$ где $AM=R\text{,}$ $MC=\frac{R}{2}\text{,}$ $AC=R\sqrt{2}\text{.}$ Пусть $\angle MAC=\alpha \text{.}$ По теореме косинусов:

Тогда найдём синус угла:

Так как $AM=AN=R$ и $CM=CN=\frac{R}{2}\text{,}$ прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к общей хорде $MN\text{.}$ Пусть $O$ — точка пересечения $AC$ и $MN\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $AMO\text{:}$

Тогда отрезок $OC\text{:}$

Пусть прямая $MN$ пересекает $BC$ в точке $K\text{.}$ Рассмотрим $△KOC\text{.}$ В нём $\angle KOC=90^{\circ }\text{,}$ а $\angle KCO=45^{\circ }$ (так как диагональ квадрата делит угол пополам). Значит, $△KOC$ — равнобедренный прямоугольный, откуда:

Найдём длину $BK\text{:}$

Следовательно, $BK:KC=\frac{3R/8}{5R/8}=3:5\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Найдём площадь четырёхугольника $AMCN\text{.}$ Из условия известно, что площадь квадрата равна $8\text{,}$ то есть $R^2=8\text{,}$ откуда $R=2\sqrt{2}\text{.}$

Вычислим длины диагоналей четырёхугольника:

Четырёхугольник $AMCN$ является ромбоидом с перпендикулярными диагоналями. Его площадь равна половине произведения диагоналей:

Ответ: $\sqrt{7}\text{.}$