В квадрате ABCD построена окружность с центром в точке A , радиусом, равным стороне квадрата, и окружность с центром в точке C , радиусом, равным половине стороны квадрата. Окружности пересекаются в точках M и N . а) Докажите, что прямая MN делит сторону BC в отношении 3 : 5 , считая от точки B . б) Найдите площадь четырёхугольника AMCN , если площадь квадрата равна 8 .

а) Пусть сторона квадрата ABCD равна R , тогда радиусы окружностей равны R (с центром в A ) и (R)/(2) (с центром в C ). Диагональ квадрата AC = Rsqrt(2) . Рассмотрим AMC , где AM = R , MC = (R)/(2) , AC = Rsqrt(2) . Пусть MAC = alpha . По теореме косинусов: cos alpha = (AM^2 + AC^2 - MC^2)/(2 * AM * AC) = (R^2 + 2R^2 - R^2/4)/(2R * Rsqrt(2)) = (11/4)/(2sqrt(2)) = (11)/(8sqrt(2)). Тогда найдём синус угла: sin alpha = sqrt(1 - cos^2 alpha) = sqrt(1 - (121)/(128)) = (sqrt(7))/(8sqrt(2)). Так как AM = AN = R и CM = CN = (R)/(2) , прямая AC является серединным перпендикуляром к общей хорде MN . Пусть O — точка пересечения AC и MN . В прямоугольном треугольнике AMO : MO = AM sin alpha = R * (sqrt(7))/(8sqrt(2)), MN = 2MO = (Rsqrt(7))/(4sqrt(2)). AO = AM cos alpha = R * (11)/(8sqrt(2)) = (11sqrt(2)R)/(16). Тогда отрезок OC : OC = AC - AO = Rsqrt(2) - (11sqrt(2)R)/(16) = (5sqrt(2)R)/(16). Пусть прямая MN пересекает BC в точке K . Рассмотрим KOC . В нём KOC = 90^ , а KCO = 45^ (так как диагональ квадрата делит угол пополам). Значит, KOC — равнобедренный прямоугольный, откуда: KO = OC, KC = OCsqrt(2) = (5sqrt(2)R)/(16) * sqrt(2) = (5R)/(8). Найдём длину BK : BK = BC - KC = R - (5R)/(8) = (3R)/(8). Следовательно, BK : KC = (3R/8)/(5R/8) = 3 : 5 , что и требовалось доказать. б) Найдём площадь четырёхугольника AMCN . Из условия известно, что площадь квадрата равна 8 , то есть R^2 = 8 , откуда R = 2sqrt(2) . Вычислим длины диагоналей четырёхугольника: AC = Rsqrt(2) = 4, MN = (Rsqrt(7))/(4sqrt(2)) = (2sqrt(2) * sqrt(7))/(4sqrt(2)) = (sqrt(7))/(2). Четырёхугольник AMCN является ромбоидом с перпендикулярными диагоналями. Его площадь равна половине произведения диагоналей: S_(AMCN) = (1)/(2) * AC * MN = (1)/(2) * 4 * (sqrt(7))/(2) = sqrt(7). Ответ: sqrt(7) .

$\sqrt{7}$