Решите неравенство: (x^(_3 x) - 9) * (_7 (x+1)/(7) + _(x+1) (7)/(x+1)) 0 .

ОДЗ: x > 0 (иначе x^(_3 x) или _3 x не определены), x + 1 > 0 — выполнено автоматически, x + 1 != 1 , т. е. x != 0 — выполнено. Для удобства введём замены: u = _3 x , v = _7(x + 1) . *Первая скобка.* x^(_3 x) = 3^((_3 x)* _3 x) = 3^(u^2) . Тогда x^(_3 x) - 9 = 3^(u^2) - 3^2 . *Вторая скобка.* _7 (x+1)/(7) = v - 1 , а _(x+1) (7)/(x+1) = _(x+1) 7 - 1 = (1)/(v) - 1 . Сумма: (v - 1) + ((1)/(v) - 1) = (v^2 - 2v + 1)/(v) = ((v - 1)^2)/(v). Неравенство принимает вид (3^(u^2) - 9) * ((v - 1)^2)/(v) 0. Так как (v - 1)^2 0 , знак произведения определяется знаком (3^(u^2) - 9)/v (при v != 0 , т. е. x != 6 , v имеет знак _7(x+1) , положительный при x + 1 > 1 , т. е. x > 0 ). Значит, v > 0 при всех x > 0 . Случай 1: (v - 1)^2 = 0 , т. е. v = 1 , что даёт x + 1 = 7 , x = 6 . Подходит — произведение равно нулю. Случай 2: иначе нужно 3^(u^2) - 9 0 , т. е. u^2 2 , или |_3 x| sqrt(2) , что эквивалентно 3^(-sqrt(2)) x 3^(sqrt(2)) . Замечание: 3^(sqrt(2)) < 3^(1,)5 = 3sqrt(3) < 3 * 2 = 6 , поэтому интервал и точка 6 не пересекаются. Объединяя: x in [3^(-sqrt(2)); 3^(sqrt(2))] U 6. Ответ: x in [3^(-sqrt(2)); 3^(sqrt(2))] U 6 .

$x \in \left[3^{-\sqrt{2}};\ 3^{\sqrt{2}}\right] \cup \{6\}$