Задача №17233

Решите неравенство:

$\left(x^{{\log }_{3}x}-9\right)\cdot \left({\log }_7\frac{x+1}{7}+{\log }_{x+1}\frac{7}{x+1}\right)⩽0\text{.}$

ОДЗ: $x>0$ (иначе $x^{{\log }_{3}x}$ или ${\log }_{3}x$ не определены), $x+1>0$ — выполнено автоматически, $x+1\ne 1\text{,}$ т. е. $x\ne 0$ — выполнено.

Для удобства введём замены: $u={\log }_{3}x\text{,}$ $v={\log }_7(x+1)\text{.}$

Первая скобка.
$x^{{\log }_{3}x}=3^{({\log }_{3}x)\cdot {\log }_{3}x}=3^{u^2}\text{.}$ Тогда $x^{{\log }_{3}x}-9=3^{u^2}-3^2\text{.}$

Вторая скобка.
${\log }_7\frac{x+1}{7}=v-1\text{,}$ а ${\log }_{x+1}\frac{7}{x+1}={\log }_{x+1}7-1=\frac{1}{v}-1\text{.}$

Сумма:

$$(v-1)+\left(\frac{1}{v}-1\right)=\frac{v^2-2v+1}{v}=\frac{(v-1{)}^2}{v}.$$

Неравенство принимает вид

$$\left(3^{u^2}-9\right)\cdot \frac{(v-1{)}^2}{v}⩽0.$$

Так как $(v-1{)}^2⩾0\text{,}$ знак произведения определяется знаком $(3^{u^2}-9)/v$ (при $v\ne 0\text{,}$ т. е. $x\ne 6\text{,}$ $v$ имеет знак ${\log }_7(x+1)\text{,}$ положительный при $x+1>1\text{,}$ т. е. $x>0$). Значит, $v>0$ при всех $x>0\text{.}$

Случай 1: $(v-1{)}^2=0\text{,}$ т. е. $v=1\text{,}$ что даёт $x+1=7\text{,}$ $x=6\text{.}$ Подходит — произведение равно нулю.

Случай 2: иначе нужно $3^{u^2}-9⩽0\text{,}$ т. е. $u^2⩽2\text{,}$ или $|{\log }_{3}x|⩽\sqrt{2}\text{,}$ что эквивалентно $3^{-\sqrt{2}}⩽x⩽3^{\sqrt{2}}\text{.}$

Замечание: $3^{\sqrt{2}}<3^{1,5}=3\sqrt{3}<3\cdot 2=6\text{,}$ поэтому интервал и точка $\{6\}$ не пересекаются.

Объединяя:

$$x\in \left[3^{-\sqrt{2}};3^{\sqrt{2}}\right]\cup \{6\}.$$

Ответ: $x\in \left[3^{-\sqrt{2}};3^{\sqrt{2}}\right]\cup \{6\}\text{.}$