Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Решите неравенство
(4⋅3x+3−x)3log3(x−1)−log3(2x2−x−1)>1.
Обозначим g(x)=4⋅3x+3−x. По неравенству о среднем арифметическом и геометрическом:
g(x)⩾24⋅3x⋅3−x=24=4>1для всех x.
ОДЗ:
1. x−1>0 (для log3(x−1));
2. 2x2−x−1>0⇔(2x+1)(x−1)>0⇔x<−21 или x>1.
Пересечение условий ОДЗ: x>1.
Так как g(x)>1, неравенство вида g(x)E>1 равносильно E>0:
3log3(x−1)−log3(2x2−x−1)>0⇔log3(2x+1)(x−1)(x−1)3>0⇔(x−1)3>(2x+1)(x−1).Перенесём все слагаемые в левую часть:
(x−1)((x−1)2−(2x+1))>0.По ОДЗ x−1>0, поэтому достаточно:
(x−1)2−(2x+1)>0⇔x2−2x+1−2x−1>0⇔x2−4x>0⇔x(x−4)>0.Отсюда x<0 или x>4. С учётом ОДЗ x>1 остаётся x>4.
Ответ: x∈(4;+∞).