Задача №17231

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при $C\text{,}$ и биссектриса прямого угла $CD$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AD=20$ и $DB=15\text{.}$

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Пусть $AC=4k\text{,}$ $BC=3k\text{.}$ Тогда $AB=AD+DB=35\text{,}$ и по теореме Пифагора:

Катеты: $AC=28\text{,}$ $BC=21\text{.}$ Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

Ответ: 7