В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при C , и биссектриса прямого угла CD делит гипотенузу AB на отрезки AD = 20 и DB = 15 . По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: (AD)/(DB) = (AC)/(BC) = (20)/(15) = (4)/(3). Пусть AC = 4k , BC = 3k . Тогда AB = AD + DB = 35 , и по теореме Пифагора: (4k)^2 + (3k)^2 = 35^2 => 25k^2 = 1225 => k = 7. Катеты: AC = 28 , BC = 21 . Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: r = (a + b - c)/(2) = (28 + 21 - 35)/(2) = (14)/(2) = 7. Ответ: 7

7