Задача №17225

Найдите наименьшее значение функции $y={\log }_{0,5}(4^x-2^{x+2}+8)$ на отрезке $[-1;2]\text{.}$

Запишем функцию в виде:

Рассмотрим выражение под знаком логарифма. Пусть $u=2^x>0\text{,}$ тогда:

Следовательно, функция $y$ определена при всех $x$ и принимает вид $y=-{\log }_2((2^x-2{)}^2+4)\text{.}$

Так как функция $f(g)=-{\log }_{2}g$ является убывающей, наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении аргумента $g\text{.}$

Исследуем функцию $g(u)=(u-2{)}^2+4$ на промежутке, соответствующем отрезку $x\in [-1;2]\text{.}$ Поскольку $u=2^x\text{,}$ то $u\in [2^{-1};2^2]\text{,}$ то есть $u\in [0,5;4]\text{.}$ Найдём значения $g(u)$ в ключевых точках:

1. $g(0,5)=(0,5-2{)}^2+4=2,25+4=6,25\text{;}$
2. $g(4)=(4-2{)}^2+4=4+4=8\text{;}$
3. $g(2)=4$ (минимум функции $g\text{,}$ достигается при $x=1$).

Наибольшее значение $g$ на отрезке $[0,5;4]$ равно $\max \{6,25;8\}=8\text{.}$ Оно достигается при $u=4$ (что соответствует $x=2$).

Тогда наименьшее значение исходной функции:

Ответ: -3