Найдите наименьшее значение функции y = _(0,)5 (4^x - 2^(x+2) + 8) на отрезке [-1; 2] .

Запишем функцию в виде: y = -_2 (4^x - 4 * 2^x + 8). Рассмотрим выражение под знаком логарифма. Пусть u = 2^x > 0 , тогда: g(u) = u^2 - 4u + 8 = (u - 2)^2 + 4 > 0. Следовательно, функция y определена при всех x и принимает вид y = -_2 ((2^x - 2)^2 + 4) . Так как функция f(g) = -_2 g является убывающей, наименьшее значение y достигается при наибольшем значении аргумента g . Исследуем функцию g(u) = (u - 2)^2 + 4 на промежутке, соответствующем отрезку x in [-1; 2] . Поскольку u = 2^x , то u in [2^(-1); 2^2] , то есть u in [0,5; 4] . Найдём значения g(u) в ключевых точках: 1. g(0,5) = (0,5 - 2)^2 + 4 = 2,25 + 4 = 6,25 ; 2. g(4) = (4 - 2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8 ; 3. g(2) = 4 (минимум функции g , достигается при x = 1 ). Наибольшее значение g на отрезке [0,5; 4] равно 6,25; 8 = 8 . Оно достигается при u = 4 (что соответствует x = 2 ). Тогда наименьшее значение исходной функции: y_() = -_2 8 = -3. Ответ: -3

-3