Внутри квадрата ABCD отмечена точка O , а через неё проведены прямые, параллельные сторонам квадрата, пересекающие стороны AB , BC , CD и DA в точках X , Y , Z и T соответственно. DY — биссектриса угла XYC . а) Докажите, что площадь прямоугольника XBYO в два раза больше площади ZDTO . б) Найдите сторону квадрата, если дополнительно известно, что tg DYC = (3)/(2) , а площадь наименьшего из прямоугольников, на которые квадрат делится прямыми XZ и YT , равна 15 .

Введём систему координат: A(0;0) , B(a;0) , C(a;a) , D(0;a) , где a — сторона квадрата. Пусть O(x_0;y_0) , где 0 < x_0 < a и 0 < y_0 < a . Тогда прямая через O , параллельная BC , пересекает AB в точке X(x_0;0) и CD в точке Z(x_0;a) ; прямая через O , параллельная AB , пересекает BC в точке Y(a;y_0) и DA в точке T(0;y_0) . Прямые XZ и YT делят квадрат на четыре прямоугольника с площадями: S_(AXOT) = x_0 y_0, S_(XBYO) = (a-x_0)y_0, S_(OYCZ) = (a-x_0)(a-y_0), S_(ZDTO) = x_0(a-y_0). а) В прямоугольном треугольнике YBX ( B = 90^ ) имеем XB = a - x_0 , YB = y_0 , поэтому tg XYB = (a-x_0)/(y_0), XYC = 180^ - XYB. В прямоугольном треугольнике DCY ( C = 90^ ) имеем DC = a , CY = a - y_0 , откуда tg DYC = (a)/(a-y_0). 1 Так как DY — биссектриса угла XYC , то XYC = 2 DYC . Обозначим alpha = DYC . Тогда XYB = 180^ - 2alpha и tg(180^ - 2alpha) = -tg 2alpha = -(2)/(1-tg^2alpha). Подставив = (a)/(a-y_0) , после упрощения получаем: tg XYB = (2a(a-y_0))/(y_0(2a-y_0)). Из равенства (a-x_0)/(y_0) = (2a(a-y_0))/(y_0(2a-y_0)) получаем (a-x_0)(2a-y_0) = 2a(a-y_0) . Раскрывая скобки: 2a^2 - ay_0 - 2ax_0 + x_0 y_0 = 2a^2 - 2ay_0, ay_0 + x_0 y_0 = 2ax_0 <=>y_0(a + x_0) = 2ax_0. 2 Из (2) следует y_0 = (2ax_0)/(a+x_0) , поэтому a - y_0 = (a(a - x_0))/(a + x_0) . Найдём отношение площадей: (S_(XBYO))/(S_(ZDTO)) = ((a-x_0)y_0)/(x_0(a-y_0)) = ((a-x_0) * 2ax_0)/(x_0 * a(a-x_0)) = 2. Значит, S_(XBYO) = 2S_(ZDTO) , что и требовалось. б) Из условия и формулы (1): (a)/(a-y_0) = (3)/(2) , откуда 2a = 3(a-y_0) и y_0 = (a)/(3) . Подставим в (2): (a)/(3)(a + x_0) = 2ax_0 <=>a + x_0 = 6x_0 <=>x_0 = (a)/(5). Получаем x_0 = (a)/(5) , a - x_0 = (4a)/(5) , y_0 = (a)/(3) , a - y_0 = (2a)/(3) . Вычислим площади четырёх прямоугольников: S_(AXOT) = (a)/(5) * (a)/(3) = (a^2)/(15), S_(XBYO) = (4a)/(5) * (a)/(3) = (4a^2)/(15), S_(OYCZ) = (4a)/(5) * (2a)/(3) = (8a^2)/(15), S_(ZDTO) = (a)/(5) * (2a)/(3) = (2a^2)/(15). Наименьшая из них — S_(AXOT) = (a^2)/(15) . По условию (a^2)/(15) = 15 , откуда a^2 = 225 и a = 15 . Ответ: 15

15