Задача №17223

Внутри квадрата $ABCD$ отмечена точка $O\text{,}$ а через неё проведены прямые, параллельные сторонам квадрата, пересекающие стороны $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD$ и $DA$ в точках $X\text{,}$ $Y\text{,}$ $Z$ и $T$ соответственно. $DY$ — биссектриса угла $XYC\text{.}$

а) Докажите, что площадь прямоугольника $XBYO$ в два раза больше площади $ZDTO\text{.}$
б) Найдите сторону квадрата, если дополнительно известно, что $\mathrm{tg}\angle DYC=\frac{3}{2}\text{,}$ а площадь наименьшего из прямоугольников, на которые квадрат делится прямыми $XZ$ и $YT\text{,}$ равна $15\text{.}$

Введём систему координат: $A(0;0)\text{,}$ $B(a;0)\text{,}$ $C(a;a)\text{,}$ $D(0;a)\text{,}$ где $a$ — сторона квадрата. Пусть $O(x_0;y_0)\text{,}$ где $0<x_0<a$ и $0<y_0<a\text{.}$ Тогда прямая через $O\text{,}$ параллельная $BC\text{,}$ пересекает $AB$ в точке $X(x_0;0)$ и $CD$ в точке $Z(x_0;a)\text{;}$ прямая через $O\text{,}$ параллельная $AB\text{,}$ пересекает $BC$ в точке $Y(a;y_0)$ и $DA$ в точке $T(0;y_0)\text{.}$

Прямые $XZ$ и $YT$ делят квадрат на четыре прямоугольника с площадями:

$$S_{AXOT}=x_0{y}_0,S_{XBYO}=(a-x_0)y_0,S_{OYCZ}=(a-x_0)(a-y_0),S_{ZDTO}=x_0(a-y_0).$$

а) В прямоугольном треугольнике $YBX$ ($\angle B=90^{\circ }$) имеем $XB=a-x_0\text{,}$ $YB=y_0\text{,}$ поэтому

$$\mathrm{tg}\angle XYB=\frac{a-x_0}{y_0},\angle XYC=180^{\circ }-\angle XYB.$$

В прямоугольном треугольнике $DCY$ ($\angle C=90^{\circ }$) имеем $DC=a\text{,}$ $CY=a-y_0\text{,}$ откуда

$$\mathrm{tg}\angle DYC=\frac{a}{a-y_0}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Так как $DY$ — биссектриса угла $XYC\text{,}$ то $\angle XYC=2\angle DYC\text{.}$ Обозначим $\alpha =\angle DYC\text{.}$ Тогда $\angle XYB=180^{\circ }-2\alpha$ и

$$\mathrm{tg}(180^{\circ }-2\alpha )=-\mathrm{tg}2\alpha =-\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }.$$

Подставив $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{a-y_0}\text{,}$ после упрощения получаем:

$$\mathrm{tg}\angle XYB=\frac{2a(a-y_0)}{y_0(2a-y_0)}.$$

Из равенства

$$\frac{a-x_0}{y_0}=\frac{2a(a-y_0)}{y_0(2a-y_0)}$$

получаем $(a-x_0)(2a-y_0)=2a(a-y_0)\text{.}$ Раскрывая скобки:

$$2a^2-a{y}_0-2a{x}_0+x_0{y}_0=2a^2-2a{y}_0,$$ $$a{y}_0+x_0{y}_0=2a{x}_0\iff y_0(a+x_0)=2a{x}_0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Из (2) следует $y_0=\frac{2a{x}_0}{a+x_0}\text{,}$ поэтому $a-y_0=\frac{a(a-x_0)}{a+x_0}\text{.}$ Найдём отношение площадей:

$$\frac{S_{XBYO}}{S_{ZDTO}}=\frac{(a-x_0)y_0}{x_0(a-y_0)}=\frac{(a-x_0)\cdot 2a{x}_0}{x_0\cdot a(a-x_0)}=2.$$

Значит, $S_{XBYO}=2S_{ZDTO}\text{,}$ что и требовалось.

б) Из условия и формулы (1): $\frac{a}{a-y_0}=\frac{3}{2}\text{,}$ откуда $2a=3(a-y_0)$ и $y_0=\frac{a}{3}\text{.}$

Подставим в (2):

$$\frac{a}{3}(a+x_0)=2a{x}_0\iff a+x_0=6x_0\iff x_0=\frac{a}{5}.$$

Получаем $x_0=\frac{a}{5}\text{,}$ $a-x_0=\frac{4a}{5}\text{,}$ $y_0=\frac{a}{3}\text{,}$ $a-y_0=\frac{2a}{3}\text{.}$ Вычислим площади четырёх прямоугольников:

$$S_{AXOT}=\frac{a}{5}\cdot \frac{a}{3}=\frac{a^2}{15},S_{XBYO}=\frac{4a}{5}\cdot \frac{a}{3}=\frac{4a^2}{15},$$ $$S_{OYCZ}=\frac{4a}{5}\cdot \frac{2a}{3}=\frac{8a^2}{15},S_{ZDTO}=\frac{a}{5}\cdot \frac{2a}{3}=\frac{2a^2}{15}.$$

Наименьшая из них — $S_{AXOT}=\frac{a^2}{15}\text{.}$ По условию $\frac{a^2}{15}=15\text{,}$ откуда $a^2=225$ и $a=15\text{.}$

Ответ: 15