Задача №17221

Найдите значение выражения
${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{18}+{\mathrm{tg}}^2\frac{5\pi }{18}+{\mathrm{tg}}^2\frac{7\pi }{18}\text{.}$

Пусть $t=\mathrm{tg}\theta$ для одного из углов $\theta \in \left\{\frac{\pi }{18};\frac{5\pi }{18};\frac{7\pi }{18}\right\}\text{.}$ Тогда $3\theta \in \left\{\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right\}\text{,}$ и ${\mathrm{tg}}^{2}3\theta =\frac{1}{3}$ во всех трёх случаях.

По формуле тангенса тройного угла $\mathrm{tg}3\theta =\frac{3t-t^3}{1-3t^2}\text{,}$ откуда

Пусть $u=t^2>0\text{.}$ Получаем $3u(3-u{)}^2=(1-3u{)}^2\text{,}$ или $3u(9-6u+u^2)=1-6u+9u^2\text{.}$ Раскрывая скобки:

Это кубическое уравнение относительно $u$ имеет ровно три корня: $u_1={\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{18}\text{,}$ $u_2={\mathrm{tg}}^2\frac{5\pi }{18}\text{,}$ $u_3={\mathrm{tg}}^2\frac{7\pi }{18}\text{.}$

По теореме Виета:

Ответ: 9.