Найдите значение выражения tg^2 (pi)/(18) + tg^2 (5pi)/(18) + tg^2 (7pi)/(18) .

Пусть t = tg для одного из углов in (pi)/(18);(5pi)/(18);(7pi)/(18) . Тогда 3 in (pi)/(6);(5pi)/(6);(7pi)/(6) , и tg^2 3 = (1)/(3) во всех трёх случаях. По формуле тангенса тройного угла tg 3 = (3t - t^3)/(1 - 3t^2) , откуда ((3t - t^3)^2)/((1 - 3t^2)^2) = (1)/(3) <=> 3t^2(3 - t^2)^2 = (1 - 3t^2)^2. Пусть u = t^2 > 0 . Получаем 3u(3 - u)^2 = (1 - 3u)^2 , или 3u(9 - 6u + u^2) = 1 - 6u + 9u^2 . Раскрывая скобки: 3u^3 - 27u^2 + 33u - 1 = 0. Это кубическое уравнение относительно u имеет ровно три корня: u_1 = tg^2 (pi)/(18) , u_2 = tg^2 (5pi)/(18) , u_3 = tg^2 (7pi)/(18) . По теореме Виета: u_1 + u_2 + u_3 = (27)/(3) = 9. Ответ: 9.

9