Найдите значение выражения sin^4 x + cos^4 x , если sin x + cos x = 1,2 .

Задача №17220: Вычисления и преобразования

Возведём обе части равенства $sin x + cos x = 1, 2$ в квадрат:

(sin x + cos x)^{2} = 1, 2^{2},

sin^{2} x + cos^{2} x + 2 sin x cos x = 1, 44.

Учитывая основное тригонометрическое тождество $sin^{2} x + cos^{2} x = 1,$ получаем:

1 + 2 sin x cos x = 1, 44 \Rightarrow 2 sin x cos x = 0, 44 \Rightarrow sin x cos x = 0, 22.

Выразим сумму четвёртых степеней из квадрата основного тригонометрического тождества:

(sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} = 1^{2},

sin^{4} x + 2 sin^{2} x cos^{2} x + cos^{4} x = 1,

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 (sin x cos x)^{2} .

Подставим ранее найденное значение $sin x cos x = 0, 22 :$

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 \cdot 0, 2 2^{2} = 1 - 2 \cdot 0, 0484 = 1 - 0, 0968 = 0, 9032.

Ответ: $0, 9032 .$

Возведём обе части равенства $sin x + cos x = 1, 2$ в квадрат:

(sin x + cos x)^{2} = 1, 2^{2},

sin^{2} x + cos^{2} x + 2 sin x cos x = 1, 44.

Учитывая основное тригонометрическое тождество $sin^{2} x + cos^{2} x = 1,$ получаем:

1 + 2 sin x cos x = 1, 44 \Rightarrow 2 sin x cos x = 0, 44 \Rightarrow sin x cos x = 0, 22.

Выразим сумму четвёртых степеней из квадрата основного тригонометрического тождества:

(sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} = 1^{2},

sin^{4} x + 2 sin^{2} x cos^{2} x + cos^{4} x = 1,

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 (sin x cos x)^{2} .

Подставим ранее найденное значение $sin x cos x = 0, 22 :$

sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - 2 \cdot 0, 2 2^{2} = 1 - 2 \cdot 0, 0484 = 1 - 0, 0968 = 0, 9032.

Ответ: $0, 9032 .$