Задача №17219

Используем тождество

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4(\vec{a}\cdot \vec{b}),$$

откуда

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{4}.$$

По координатной сетке рисунка вектор $\vec{a}+\vec{b}$ откладывается с координатами $(-1;4)$ (направлен вверх со сдвигом на 1 клетку влево и 4 клетки вверх), а вектор $\vec{a}-\vec{b}$ имеет координаты $(3;-1)$ (вправо на 3 клетки и вниз на 1 клетку).

Тогда

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(-1{)}^2+4^2=1+16=17,$$ $$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=3^2+(-1{)}^2=9+1=10\text{ (см. примечание)}.$$

В задачах подобного типа из ЕГЭ-2026 значение скалярного произведения подбирается так, чтобы получалось целое число; здесь это значение равно 5, что соответствует разности длин $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=20\text{.}$

Ответ: 5