Задача №17218

В треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $J$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC\text{.}$ Пусть $r$ и $r_1$ — радиусы этих окружностей, а $h$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ проведенная из вершины $B$ к стороне $AC\text{.}$

а) Докажите, что $\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}=\frac{2}{h}\text{.}$
б) Найдите площадь треугольника $ABC\text{,}$ если известно, что площадь треугольника $AIC$ равна $10\text{,}$ а площадь треугольника $AJC$ равна $15\text{.}$

Пусть $AC=b\text{,}$ $h$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC\text{,}$ $S$ — площадь $△ABC\text{,}$ а $s=(a+b+c)/2$ — полупериметр.

Для радиуса вписанной окружности справедливо: $r=\frac{S}{s}\text{.}$

Для радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны $AC\text{:}$ $r_1=\frac{S}{s-b}\text{.}$

Тогда имеем:

$$\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}=\frac{s}{S}-\frac{s-b}{S}=\frac{b}{S}.$$

Так как площадь треугольника $S=\frac{1}{2}bh\text{,}$ то

$$\frac{b}{S}=\frac{b}{\frac{1}{2}bh}=\frac{2}{h}.$$

Итого: $\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}=\frac{2}{h}\text{,}$ что и требовалось доказать.

Точка $I$ (центр вписанной окружности) удалена от прямой $AC$ на расстояние $r\text{.}$ Значит:

$$S_{△AIC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot r=\frac{1}{2}br=10\Rightarrow br=20.$$

Точка $J$ (центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$) удалена от $AC$ на расстояние $r_1\text{:}$

$$S_{△AJC}=\frac{1}{2}b{r}_1=15\Rightarrow b{r}_1=30.$$

Найдём отношение радиусов:

$$\frac{r_1}{r}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}\Rightarrow r_1=\frac{3r}{2}.$$

Из пункта а) следует:

$$\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}=\frac{2}{h};$$ $$\frac{1}{r}-\frac{2}{3r}=\frac{2}{h};$$ $$\frac{1}{3r}=\frac{2}{h}\Rightarrow h=6r.$$

Тогда площадь треугольника $ABC\text{:}$

$$S_{△ABC}=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}b\cdot 6r=3br=3\cdot 20=60.$$

Ответ: 60