В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, а J — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC . Пусть r и r_1 — радиусы этих окружностей, а h — высота треугольника ABC , проведенная из вершины B к стороне AC . а) Докажите, что (1)/(r) - (1)/(r_1) = (2)/(h) . б) Найдите площадь треугольника ABC , если известно, что площадь треугольника AIC равна 10 , а площадь треугольника AJC равна 15 .

Пусть AC = b , h — высота, проведенная из вершины B к стороне AC , S — площадь ABC , а s = (a + b + c)/2 — полупериметр. Для радиуса вписанной окружности справедливо: r = (S)/(s) . Для радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны AC : r_1 = (S)/(s - b) . Тогда имеем: (1)/(r) - (1)/(r_1) = (s)/(S) - (s - b)/(S) = (b)/(S). Так как площадь треугольника S = (1)/(2)bh , то (b)/(S) = (b)/((1)/(2)bh) = (2)/(h). Итого: (1)/(r) - (1)/(r_1) = (2)/(h) , что и требовалось доказать. Точка I (центр вписанной окружности) удалена от прямой AC на расстояние r . Значит: S_( AIC) = (1)/(2) * AC * r = (1)/(2)br = 10 => br = 20. Точка J (центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC ) удалена от AC на расстояние r_1 : S_( AJC) = (1)/(2)br_1 = 15 => br_1 = 30. Найдём отношение радиусов: (r_1)/(r) = (30)/(20) = (3)/(2) => r_1 = (3r)/(2). Из пункта а) следует: (1)/(r) - (1)/(r_1) = (2)/(h); (1)/(r) - (2)/(3r) = (2)/(h); (1)/(3r) = (2)/(h) => h = 6r. Тогда площадь треугольника ABC : S_( ABC) = (1)/(2)bh = (1)/(2)b * 6r = 3br = 3 * 20 = 60. Ответ: 60

60