Задача №17217

Уважаемый предприниматель Арсен открыл на трассе М-4 два премиальных заведения: элитную шашлычную «Золотой шампур» и VIP-автомойку «Чистый Лев». На летние каникулы из родного аула к Арсену приехали 60 племянников, которых нужно пристроить к делу. Каждый день Арсен должен распределить всех 60 племянников между двумя бизнесами.

1. Если на шашлычную отправлено $x$ племянников, то из-за того, что они начинают спорить, чей маринад лучше, и постоянно отвлекаются на произнесение тостов за здоровье клиентов, ежедневная выручка (в тысячах рублей) вычисляется по формуле:
$R_1(x)=15x-0,1x^2\text{.}$

2. Если на автомойке работает $y$ племянников, то из-за того, что они устраивают соревнования по лезгинке с активной пеной и бесплатно моют заниженные Приоры всех знакомых, выручка (в тысячах рублей) составляет:
$R_2(y)=21y-0,2y^2\text{.}$

Как Арсен должен распределить племянников между шашлычной и автомойкой, чтобы суммарная ежедневная выручка была наибольшей и он быстрее накопил на новый «Гелендваген»? Какова будет эта максимальная выручка (в тысячах рублей)?

Пусть на шашлычную направлено $x$ племянников ($0⩽x⩽60\text{,}$ $x\in \mathbb{Z}$), тогда на автомойке работают $y=60-x$ племянников.

Суммарная выручка выражается функцией:

$$R(x)=R_1(x)+R_2(60-x)=15x-0,1x^2+21(60-x)-0,2(60-x{)}^2.$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$R(x)=15x-0,1x^2+1260-21x-0,2(3600-120x+x^2)=540+18x-0,3x^2.$$

Найдём производную функции $R(x)\text{:}$

$R^{\prime }(x)=18-0,6x\text{.}$

Приравняем производную к нулю:

$18-0,6x=0\Rightarrow x=30\text{.}$

Так как $R^{\prime \prime }(x)=-0,6<0\text{,}$ то $x=30$ — точка максимума. Значение $x=30$ является целым числом и принадлежит рассматриваемому промежутку.

При $x=30$ количество племянников на автомойке составляет $y=60-30=30\text{.}$ Вычислим выручку в каждом заведении:

$$R_1(30)=15\cdot 30-0,1\cdot 900=450-90=360,$$ $$R_2(30)=21\cdot 30-0,2\cdot 900=630-180=450.$$

Суммарная максимальная выручка составит:

$$360+450=810\text{ тыс. рублей.}$$

Ответ: Арсен направит 30 племянников в шашлычную и 30 — на автомойку; максимальная ежедневная выручка — 810 тыс. рублей.