Уважаемый предприниматель Арсен открыл на трассе М-4 два премиальных заведения: элитную шашлычную «Золотой шампур» и VIP-автомойку «Чистый Лев». На летние каникулы из родного аула к Арсену приехали 60 племянников, которых нужно пристроить к делу. Каждый день Арсен должен распределить всех 60 племянников между двумя бизнесами. 1. Если на шашлычную отправлено x племянников, то из-за того, что они начинают спорить, чей маринад лучше, и постоянно отвлекаются на произнесение тостов за здоровье клиентов, ежедневная выручка (в тысячах рублей) вычисляется по формуле: R_1(x) = 15x - 0,1x^2 . 2. Если на автомойке работает y племянников, то из-за того, что они устраивают соревнования по лезгинке с активной пеной и бесплатно моют заниженные Приоры всех знакомых, выручка (в тысячах рублей) составляет: R_2(y) = 21y - 0,2y^2 . Как Арсен должен распределить племянников между шашлычной и автомойкой, чтобы суммарная ежедневная выручка была наибольшей и он быстрее накопил на новый «Гелендваген»? Какова будет эта максимальная выручка (в тысячах рублей)?

Пусть на шашлычную направлено x племянников ( 0 x 60 , x in Z ), тогда на автомойке работают y = 60 - x племянников. Суммарная выручка выражается функцией: R(x) = R_1(x) + R_2(60 - x) = 15x - 0,1x^2 + 21(60 - x) - 0,2(60 - x)^2. Раскроем скобки и упростим выражение: R(x) = 15x - 0,1x^2 + 1260 - 21x - 0,2(3600 - 120x + x^2) = 540 + 18x - 0,3x^2. Найдём производную функции R(x) : R'(x) = 18 - 0,6x . Приравняем производную к нулю: 18 - 0,6x = 0 => x = 30 . Так как R''(x) = -0,6 < 0 , то x = 30 — точка максимума. Значение x = 30 является целым числом и принадлежит рассматриваемому промежутку. При x = 30 количество племянников на автомойке составляет y = 60 - 30 = 30 . Вычислим выручку в каждом заведении: R_1(30) = 15 * 30 - 0,1 * 900 = 450 - 90 = 360, R_2(30) = 21 * 30 - 0,2 * 900 = 630 - 180 = 450. Суммарная максимальная выручка составит: 360 + 450 = 810 тыс. рублей. Ответ: Арсен направит 30 племянников в шашлычную и 30 — на автомойку; максимальная ежедневная выручка — 810 тыс. рублей.

30 в шашлычную и 30 на автомойку; максимальная выручка $810$ тыс. рублей