Редким заболеванием страдает 5% населения региона. Медицинский тест выявляет болезнь у больного с вероятностью 0,95 . Однако тест не идеален: он даёт ложноположительный результат (показывает, что человек болен) у 5% здоровых людей. Пациент А сдал тест, и результат оказался положительным. Найдите вероятность того, что пациент А действительно болен.

Задача на формулу Байеса. Введём события: 1. B — пациент болен. 2. B — пациент здоров. 3. T — тест положителен. По условию: - P(B) = 0,05 ; - P(B) = 0,95 ; - P(T B) = 0,95 — чувствительность теста; - P(T B) = 0,05 — доля ложноположительных результатов. Полная вероятность положительного теста: P(T) = P(T B) * P(B) + P(T B) * P(B) = 0,95 * 0,05 + 0,05 * 0,95 = 0,0475 + 0,0475 = 0,095. По формуле Байеса найдём вероятность болезни при условии положительного теста: P(B T) = (P(T B) * P(B))/(P(T)) = (0,0475)/(0,095) = 0,5. Парадокс редкого заболевания. Даже при чувствительности 95% и специфичности 95% , если болезнь редкая ( 5% ), положительный тест даёт всего 50% уверенности — потому что здоровых людей много, и 5% ложноположительных срабатываний от этой большой группы сопоставимы по количеству с 95% истинно положительных срабатываний от маленькой группы больных. Ответ: 0,5 .

0,5