Задача №17214

Решите уравнение
$7^{{\log }_{25}^2(5x)-1}-x^{{\log }_{5}7}=0\text{.}$

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите меньший из них.

Преобразуем показатель в первом слагаемом. Заметим, что
${\log }_{25}(5x)=\frac{1}{2}{\log }_5(5x)=\frac{1}{2}(1+{\log }_{5}x)\text{.}$

Поэтому

$${\log }_{25}^2(5x)-1=\frac{(1+{\log }_{5}x{)}^2}{4}-1.$$

Прологарифмируем уравнение по основанию $5\text{:}$ $7^{{\log }_{25}^2(5x)-1}=x^{{\log }_{5}7}\text{.}$

Логарифм левой части: $({\log }_{25}^2(5x)-1)\cdot {\log }_{5}7\text{.}$

Логарифм правой части: ${\log }_{5}7\cdot {\log }_{5}x\text{.}$

Сократим на ${\log }_{5}7\ne 0\text{:}$

$$\frac{(1+{\log }_{5}x{)}^2}{4}-1={\log }_{5}x.$$

Пусть $t={\log }_{5}x\text{.}$ Тогда

$$(1+t{)}^2-4=4t\iff t^2+2t+1-4-4t=0\iff t^2-2t-3=0,$$

откуда $t=3$ или $t=-1\text{.}$

Соответственно, $x=5^3=125$ или $x=5^{-1}=0,2\text{.}$

Ответ: 0,2.