Найдите наименьшее значение функции y = (x^3 + 2x^2 + 72)/(x) на отрезке [1; 6] .

Задача №17213: Производная и первообразная

Функция: $y = \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} + 72}{x} = x^{2} + 2 x + \frac{72}{x}$ на $[1; 6] .$

Производная:

y^{'} = 2 x + 2 - \frac{72}{x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} + 2 x ^{2} - 72}{x ^{2}} = \frac{2 ( x ^{3} + x ^{2} - 36 )}{x ^{2}} .

Ищем $y^{'} = 0 :$ $x^{3} + x^{2} - 36 = 0 .$ Подбором: $x = 3$ — корень ( $27 + 9 - 36 = 0$ ). Разложим:

x^{3} + x^{2} - 36 = (x - 3) (x^{2} + 4 x + 12) .

Квадратное уравнение $x^{2} + 4 x + 12 = 0$ имеет $D = 16 - 48 < 0$ — действительных корней нет.

Единственная критическая точка $x = 3 \in [1; 6] .$

При $x < 3 :$ $y^{'} < 0$ (функция убывает); при $x > 3 :$ $y^{'} > 0$ (функция возрастает). Значит, $x = 3$ — точка минимума.

y (3) = \frac{27 + 18 + 72}{3} = \frac{117}{3} = 39.

Дополнительно: $y (1) = 75,$ $y (6) = 60$ — минимум действительно в точке $x = 3 .$

Ответ: 39.