Найдите наименьшее значение функции y = (x^3 + 2x^2 + 72)/(x) на отрезке [1; 6] .

Функция: y = (x^3 + 2x^2 + 72)/(x) = x^2 + 2x + (72)/(x) на [1; 6] . Производная: y' = 2x + 2 - (72)/(x^2) = (2x^3 + 2x^2 - 72)/(x^2) = (2(x^3 + x^2 - 36))/(x^2). Ищем y' = 0 : x^3 + x^2 - 36 = 0 . Подбором: x = 3 — корень ( 27 + 9 - 36 = 0 ). Разложим: x^3 + x^2 - 36 = (x - 3)(x^2 + 4x + 12). Квадратное уравнение x^2 + 4x + 12 = 0 имеет D = 16 - 48 < 0 — действительных корней нет. Единственная критическая точка x = 3 in [1; 6] . При x < 3 : y' < 0 (функция убывает); при x > 3 : y' > 0 (функция возрастает). Значит, x = 3 — точка минимума. y(3) = (27 + 18 + 72)/(3) = (117)/(3) = 39. Дополнительно: y(1) = 75 , y(6) = 60 — минимум действительно в точке x = 3 . Ответ: 39.

39