Задача №17212

В правильной шестиугольной призме $ABCDEF{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{E}_1{F}_1$ боковое ребро в два раза больше стороны основания. Плоскость $\alpha$ проходит через центр основания $ABCDEF$ перпендикулярно прямой $B{E}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A{A}_1$ в отношении $1:3\text{,}$ считая от точки $A\text{.}$
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $AB{B}_1\text{.}$

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания, направив ось $Oz$ вертикально вверх вдоль оси симметрии призмы. Пусть сторона основания равна $a\text{,}$ тогда боковое ребро $A{A}_1=2a\text{.}$

Координаты ключевых точек:
— $O(0;0;0)\text{;}$
— $A(0;a;0)\text{;}$
— $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)\text{;}$
— $E\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};0\right)\text{;}$
— $E_1\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};2a\right)\text{.}$

Найдём координаты вектора:
$\overrightarrow{B{E}_1}=\left(-a\sqrt{3};-a;2a\right)\text{.}$

Нормаль $\vec{n}$ к плоскости $\alpha$ коллинеарна вектору $\overrightarrow{B{E}_1}\text{.}$ Для удобства вычислений возьмём вектор
$\vec{n}=(\sqrt{3};1;-2)\text{.}$

Так как плоскость $\alpha$ проходит через начало координат $O\text{,}$ её уравнение:
$\sqrt{3}x+y-2z=0\text{.}$

Прямая $A{A}_1$ задаётся уравнениями $x=0$ и $y=a\text{.}$ Найдём аппликату точки пересечения $A_2$ этой прямой с плоскостью $\alpha \text{:}$

$$\sqrt{3}\cdot 0+a-2z=0\Rightarrow z=\frac{a}{2}.$$

Таким образом, точка $A_2$ имеет аппликату $z=\frac{a}{2}\text{.}$ Тогда длины отрезков ребра $A{A}_1\text{:}$
$A{A}_2=\frac{a}{2}$ и $A_2{A}_1=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}\text{.}$

Следовательно, отношение отрезков:
$A{A}_2:A_2{A}_1=\frac{a}{2}:\frac{3a}{2}=1:3\text{,}$
что и требовалось доказать.

б) Плоскость $AB{B}_1$ проходит через точки $A(0;a;0)\text{,}$ $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$ и $A_1(0;a;2a)\text{.}$ Её уравнение имеет вид $x+\sqrt{3}y-a\sqrt{3}=0\text{.}$
Нормальный вектор этой плоскости:
$\overrightarrow{n_1}=(1;\sqrt{3};0)\text{.}$

Косинус угла $\phi$ между плоскостями $\alpha$ и $AB{B}_1$ вычислим по формуле:

$$\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_1}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{n_1}|}=\frac{|\sqrt{3}\cdot 1+1\cdot \sqrt{3}+(-2)\cdot 0|}{\sqrt{3+1+4}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{\sqrt{6}}{4}.$$

Ответ:

а) доказано

б) $\arccos \frac{\sqrt{6}}{4}$