В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 боковое ребро в два раза больше стороны основания. Плоскость alpha проходит через центр основания ABCDEF перпендикулярно прямой BE_1 . а) Докажите, что плоскость alpha делит ребро AA_1 в отношении 1 : 3 , считая от точки A . б) Найдите угол между плоскостью alpha и плоскостью ABB_1 .

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в центре O нижнего основания, направив ось Oz вертикально вверх вдоль оси симметрии призмы. Пусть сторона основания равна a , тогда боковое ребро AA_1 = 2a . Координаты ключевых точек: — O(0; 0; 0) ; — A(0; a; 0) ; — B((asqrt(3))/(2); (a)/(2); 0) ; — E(-(asqrt(3))/(2); -(a)/(2); 0) ; — E_1(-(asqrt(3))/(2); -(a)/(2); 2a) . Найдём координаты вектора: BE_1 = (-asqrt(3); -a; 2a) . Нормаль n к плоскости alpha коллинеарна вектору BE_1 . Для удобства вычислений возьмём вектор n = (sqrt(3); 1; -2) . Так как плоскость alpha проходит через начало координат O , её уравнение: sqrt(3)x + y - 2z = 0 . Прямая AA_1 задаётся уравнениями x = 0 и y = a . Найдём аппликату точки пересечения A_2 этой прямой с плоскостью alpha : sqrt(3) * 0 + a - 2z = 0 => z = (a)/(2). Таким образом, точка A_2 имеет аппликату z = (a)/(2) . Тогда длины отрезков ребра AA_1 : AA_2 = (a)/(2) и A_2A_1 = 2a - (a)/(2) = (3a)/(2) . Следовательно, отношение отрезков: AA_2 : A_2A_1 = (a)/(2) : (3a)/(2) = 1 : 3 , что и требовалось доказать. б) Плоскость ABB_1 проходит через точки A(0; a; 0) , B((asqrt(3))/(2); (a)/(2); 0) и A_1(0; a; 2a) . Её уравнение имеет вид x + sqrt(3)y - asqrt(3) = 0 . Нормальный вектор этой плоскости: n_1 = (1; sqrt(3); 0) . Косинус угла между плоскостями alpha и ABB_1 вычислим по формуле: cos = (|n * n_1|)/(|n| * |n_1|) = (|sqrt(3) * 1 + 1 * sqrt(3) + (-2) * 0|)/(sqrt(3 + 1 + 4) * sqrt(1 + 3)) = (2sqrt(3))/(2sqrt(2) * 2) = (sqrt(6))/(4). Ответ: а) доказано б) arccos(sqrt(6))/(4)

$\arccos\dfrac{\sqrt{6}}{4}$