Задача №17210

Дан ромб $ABCD\text{.}$ Известно, что длина стороны ромба равна 13. Введены векторы $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{AD}\text{.}$ Найдите скалярное произведение $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})\text{.}$

В ромбе $ABCD$ все стороны равны 13, поэтому $|\vec{a}|=|\overrightarrow{AB}|=13$ и $|\vec{b}|=|\overrightarrow{AD}|=13\text{.}$

Раскрываем скалярное произведение по формуле разности квадратов:

Так как $|\vec{a}|=|\vec{b}|=13\text{,}$ получаем:

Замечание.
Геометрически: $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ — большая диагональ, $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{DB}$ — другая диагональ ромба. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: 0.