Задача №17209

На окружности основания конуса с вершиной $S$ отмечены точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ так, что отрезок $AB$ — диаметр основания. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $45^{\circ }\text{.}$

а) Докажите, что
${\sin }^2\frac{\angle ASC}{2}+{\sin }^2\frac{\angle CSB}{2}=\frac{1}{2}\text{.}$

б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости $SBC\text{,}$ если радиус основания равен $5\text{,}$ а $\cos \angle ASC=0,6\text{.}$

Пусть $O$ — центр основания конуса, $R$ — радиус основания, $M$ — середина хорды $BC\text{.}$

Угол между образующей и плоскостью основания равен $45^{\circ }\text{,}$ поэтому в прямоугольном треугольнике $SAO\text{:}$ $\angle SAO=45^{\circ }\text{,}$ $SO=AO=R$ и $SA=R\sqrt{2}\text{.}$ Аналогично $SB=SC=R\sqrt{2}\text{.}$

а) Так как $AB$ — диаметр окружности основания, то по теореме Фалеса $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$ Значит, в прямоугольном треугольнике $ACB$ выполнено $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2=(2R{)}^2=4R^2\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ASC$ ($SA=SC=R\sqrt{2}$): $AC=2SA\sin \frac{\angle ASC}{2}\text{.}$ Аналогично $BC=2SB\sin \frac{\angle CSB}{2}\text{.}$ Поскольку $SA=SB\text{,}$ получаем:

$${\sin }^2\frac{\angle ASC}{2}+{\sin }^2\frac{\angle CSB}{2}=\frac{A{C}^2}{4S{A}^2}+\frac{B{C}^2}{4S{B}^2}=\frac{A{C}^2+B{C}^2}{4\cdot 2R^2}=\frac{4R^2}{8R^2}=\frac{1}{2}.$$

б) При $R=5\text{:}$ $SO=5\text{,}$ $SA=SB=SC=5\sqrt{2}\text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $ASC\text{:}$

$$A{C}^2=S{A}^2+S{C}^2-2SA\cdot SC\cdot \cos \angle ASC=50+50-2\cdot 50\cdot 0,6=40.$$

Тогда $B{C}^2=A{B}^2-A{C}^2=100-40=60\text{,}$ откуда $BC=2\sqrt{15}\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $OBM\text{:}$ $BM=\frac{BC}{2}=\sqrt{15}\text{,}$ $OM=\sqrt{O{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{25-15}=\sqrt{10}\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $SBC$ отрезок $SM$ — высота к основанию, $SM=\sqrt{S{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{50-15}=\sqrt{35}\text{.}$

Найдём площади:

$$[OBC]=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OM=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot \sqrt{10}=5\sqrt{6};$$ $$[SBC]=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot \sqrt{35}=5\sqrt{21}.$$

Объём тетраэдра $SOBC\text{:}$ $V=\frac{1}{3}[OBC]\cdot SO=\frac{1}{3}[SBC]\cdot \rho \text{,}$ где $\rho$ — расстояние от $O$ до плоскости $SBC\text{.}$ Отсюда:

$$\rho =\frac{[OBC]\cdot SO}{[SBC]}=\frac{5\sqrt{6}\cdot 5}{5\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{21}}=5\sqrt{\frac{2}{7}}=\frac{5\sqrt{14}}{7}.$$

Ответ: $\frac{5\sqrt{14}}{7}\text{.}$