На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A , B и C так, что отрезок AB — диаметр основания. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 45^ . а) Докажите, что sin^2 ( ASC)/(2) + sin^2 ( CSB)/(2) = (1)/(2) . б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости SBC , если радиус основания равен 5 , а cos ASC = 0,6 .

Пусть O — центр основания конуса, R — радиус основания, M — середина хорды BC . Угол между образующей и плоскостью основания равен 45^ , поэтому в прямоугольном треугольнике SAO : SAO = 45^ , SO = AO = R и SA = Rsqrt(2) . Аналогично SB = SC = Rsqrt(2) . а) Так как AB — диаметр окружности основания, то по теореме Фалеса ACB = 90^ . Значит, в прямоугольном треугольнике ACB выполнено AC^2 + BC^2 = AB^2 = (2R)^2 = 4R^2 . В равнобедренном треугольнике ASC ( SA = SC = Rsqrt(2) ): AC = 2SA sin ( ASC)/(2) . Аналогично BC = 2SB sin ( CSB)/(2) . Поскольку SA = SB , получаем: sin^2 ( ASC)/(2) + sin^2 ( CSB)/(2) = (AC^2)/(4SA^2) + (BC^2)/(4SB^2) = (AC^2 + BC^2)/(4 * 2R^2) = (4R^2)/(8R^2) = (1)/(2). б) При R = 5 : SO = 5 , SA = SB = SC = 5sqrt(2) . По теореме косинусов в треугольнике ASC : AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2SA * SC * cos ASC = 50 + 50 - 2 * 50 * 0,6 = 40. Тогда BC^2 = AB^2 - AC^2 = 100 - 40 = 60 , откуда BC = 2sqrt(15) . В прямоугольном треугольнике OBM : BM = (BC)/(2) = sqrt(15) , OM = sqrt(OB^2 - BM^2) = sqrt(25 - 15) = sqrt(10) . В равнобедренном треугольнике SBC отрезок SM — высота к основанию, SM = sqrt(SB^2 - BM^2) = sqrt(50 - 15) = sqrt(35) . Найдём площади: [OBC] = (1)/(2) * BC * OM = (1)/(2) * 2sqrt(15) * sqrt(10) = 5sqrt(6); [SBC] = (1)/(2) * BC * SM = (1)/(2) * 2sqrt(15) * sqrt(35) = 5sqrt(21). Объём тетраэдра SOBC : V = (1)/(3) [OBC] * SO = (1)/(3) [SBC] * , где — расстояние от O до плоскости SBC . Отсюда: = ([OBC] * SO)/([SBC]) = (5sqrt(6) * 5)/(5sqrt(21)) = (5sqrt(6))/(sqrt(21)) = 5sqrt((2)/(7)) = (5sqrt(14))/(7). Ответ: (5sqrt(14))/(7) .

А) Доказательство; Б) $\dfrac{5\sqrt{14}}{7}$