Задача №17207

Средне

Задача #17207

Разные задачи•1 балл

Для получения на экране увеличенного изображения предмета используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 20$ см. Расстояние $d_{1}$ от линзы до предмета может изменяться в пределах от 25 см до 40 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — в пределах от 50 см до 80 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f} .$ Линейное увеличение линзы $Γ$ определяется как отношение расстояния до изображения к расстоянию до предмета: $Γ = \frac{d _{2}}{d _{1}} .$ Определите, в каких пределах может изменяться увеличение $Γ,$ чтобы изображение оставалось чётким. В ответе укажите наименьшее возможное значение $Γ .$

Дано: $f = 20$ см, $d_{1} \in [25; 40],$ $d_{2} \in [50; 80],$ $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f},$ $Γ = \frac{d _{2}}{d _{1}} .$

Выразим $d_{2}$ через $d_{1} :$

\frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{d _{1}} = \frac{d _{1} - 20}{20 d _{1}},

d_{2} = \frac{20 d _{1}}{d _{1} - 20} .

Тогда

Γ = \frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{20}{d _{1} - 20} .

С учётом обоих ограничений найдём допустимый диапазон $d_{1} :$

1. $d_{2} ⩾ 50 :$ $\frac{20 d _{1}}{d _{1} - 20} ⩾ 50 \Rightarrow 20 d_{1} ⩾ 50 d_{1} - 1000 \Rightarrow d_{1} ⩽ \frac{100}{3} .$
2. $d_{2} ⩽ 80 :$ $\frac{20 d _{1}}{d _{1} - 20} ⩽ 80 \Rightarrow 20 d_{1} ⩽ 80 d_{1} - 1600 \Rightarrow d_{1} ⩾ \frac{80}{3} .$