15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15-го числа каждого месяца с 1-го по 14-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; - 15-го числа 15-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Известно, что последний (пятнадцатый) платеж по кредиту составил 306 тысяч рублей. Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма всех выплат после полного его погашения составит 1195 тысяч рублей. Ответ дайте в тыс. рублей.

Обозначим сумму кредита через S (тыс. руб.). Кредит взят 15 января — это 15-е число «нулевого» месяца. Платежи происходят в месяцах 1, 2, , 15 . Пусть D_k — долг на 15-е число k -го месяца. Имеем D_0 = S , D_(15) = 0 . По условию для k = 1, , 14 : D_k = D_(k-1) - d , где d — постоянная величина уменьшения. Тогда D_k = S - kd для k = 0, 1, , 14 . Платёж за месяц k . 1-го числа месяца k долг возрастает на 2%: становится 1,02 * D_(k-1) . К 15-му числу долг уменьшается до D_k . Платёж: P_k = 1,02 * D_(k-1) - D_k. Для k = 1, , 14 : P_k = 1,02(S - (k-1)d) - (S - kd) = 0,02S - 0,02(k-1)d + d. Для k = 15 : P_(15) = 1,02 * D_(14) - 0 = 1,02(S - 14d). Условие P_(15) = 306 : 1,02(S - 14d) = 306 =>S - 14d = 300. * Сумма всех платежей: _(k=1)^(15) P_k = _(k=1)^(14) [0,02S - 0,02(k-1)d + d] + 1,02(S - 14d). Подсчитаем: - _(k=1)^(14) 0,02S = 14 * 0,02S = 0,28S . - _(k=1)^(14) (-0,02(k-1)d) = -0,02d * (0 + 1 + + 13) = -0,02d * 91 = -1,82d . - _(k=1)^(14) d = 14d . - P_(15) = 1,02S - 14,28d . Сумма: 0,28S - 1,82d + 14d + 1,02S - 14,28d = 1,3S - 2,1d = 1195. ** Из (*) : S = 300 + 14d . Подставляя в (**) : 1,3(300 + 14d) - 2,1d = 1195, 390 + 18,2d - 2,1d = 1195, 16,1d = 805 =>d = 50, S = 300 + 14 * 50 = 1000. Проверка: P_(15) = 1,02 * 300 = 306 ; общая сумма = 1,3 * 1000 - 2,1 * 50 = 1300 - 105 = 1195 . Ответ: 1000 тыс. рублей.

1000