Задача №17206

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 14-й долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15-го числа 15-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что последний (пятнадцатый) платеж по кредиту составил 306 тысяч рублей. Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма всех выплат после полного его погашения составит 1195 тысяч рублей. Ответ дайте в тыс. рублей.

Обозначим сумму кредита через $S$ (тыс. руб.). Кредит взят 15 января — это 15-е число «нулевого» месяца. Платежи происходят в месяцах $1,2,\dots ,15\text{.}$

Пусть $D_k$ — долг на 15-е число $k$-го месяца. Имеем $D_0=S\text{,}$ $D_{15}=0\text{.}$

По условию для $k=1,\dots ,14\text{:}$ $D_k=D_{k-1}-d\text{,}$ где $d$ — постоянная величина уменьшения. Тогда $D_k=S-kd$ для $k=0,1,\dots ,14\text{.}$

Платёж за месяц $k\text{.}$ 1-го числа месяца $k$ долг возрастает на 2%: становится $1,02\cdot D_{k-1}\text{.}$ К 15-му числу долг уменьшается до $D_k\text{.}$ Платёж:

$$P_k=1,02\cdot D_{k-1}-D_k.$$

Для $k=1,\dots ,14\text{:}$

$$P_k=1,02(S-(k-1)d)-(S-kd)=0,02S-0,02(k-1)d+d.$$

Для $k=15\text{:}$

$$P_{15}=1,02\cdot D_{14}-0=1,02(S-14d).$$

Условие $P_{15}=306\text{:}$

$$1,02(S-14d)=306\Rightarrow S-14d=300.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Сумма всех платежей:

$$\sum _{k=1}^{15}{P}_k=\sum _{k=1}^{14}[0,02S-0,02(k-1)d+d]+1,02(S-14d).$$

Подсчитаем:

• ${\sum }_{k=1}^{14}0,02S=14\cdot 0,02S=0,28S\text{.}$
• ${\sum }_{k=1}^{14}(-0,02(k-1)d)=-0,02d\cdot (0+1+\dots +13)=-0,02d\cdot 91=-1,82d\text{.}$
• ${\sum }_{k=1}^{14}d=14d\text{.}$
• $P_{15}=1,02S-14,28d\text{.}$

Сумма:

$$0,28S-1,82d+14d+1,02S-14,28d=1,3S-2,1d=1195.\text{\hspace{1em}(**)}$$

Из $(\ast )\text{:}$ $S=300+14d\text{.}$ Подставляя в $(\ast \ast )\text{:}$

$$1,3(300+14d)-2,1d=1195,$$ $$390+18,2d-2,1d=1195,$$ $$16,1d=805\Rightarrow d=50,$$ $$S=300+14\cdot 50=1000.$$

Проверка: $P_{15}=1,02\cdot 300=306\text{;}$ общая сумма $=1,3\cdot 1000-2,1\cdot 50=1300-105=1195\text{.}$

Ответ: 1000 тыс. рублей.