Задача №17204

Найдите наименьшее значение функции $y=(x^2-1)e^{x^2}$ на отрезке $[-1;1]\text{.}$

Найдём наименьшее значение функции $y=(x^2-1)e^{x^2}$ на отрезке $[-1;1]\text{.}$

Найдём производную:

Приравняем производную к нулю: $y^{\prime }=0$ при $x=0\text{.}$ Так как $e^{x^2}>0$ при всех $x\text{,}$ знак $y^{\prime }$ совпадает со знаком $x^3\text{,}$ то есть со знаком $x\text{:}$

1. $y^{\prime }(x)<0$ при $x<0$ (функция убывает);
2. $y^{\prime }(x)>0$ при $x>0$ (функция возрастает).

Значит, $x=0$ — точка минимума.

Вычислим значения функции:

1. $y(0)=(0-1)\cdot e^0=-1\text{;}$
2. $y(-1)=0\cdot e=0\text{;}$
3. $y(1)=0\cdot e=0\text{.}$

Наименьшее значение функции на отрезке $[-1;1]$ равно $-1\text{.}$

Ответ: $-1\text{.}$