В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 4 , AD = 3 , AA_1 = 5 . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A , B , C , B_1 .

Задача №17203: Простейшая стереометрия

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} :$ $A B = 4,$ $A D = 3,$ $A A_{1} = 5 .$

Вершинами искомого многогранника являются точки $A,$ $B,$ $C,$ $B_{1}$ — это тетраэдр (треугольная пирамида).

Основание — треугольник $A B C,$ лежащий в нижнем основании. Это прямоугольный треугольник с катетами $A B = 4$ и $B C = A D = 3 :$

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.

Высота тетраэдра — отрезок $B B_{1} = A A_{1} = 5$ (он перпендикулярен плоскости $A B C$ ).

Найдём объём:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot B B_{1} = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 10.

Ответ: $10 .$