Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Ларин
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку P и середину стороны AD, перпендикулярна стороне BC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, если известно, что отрезки диагоналей равны: AP=3, BP=4, CP=8.
а) Доказательство.
Пусть M — середина AD. Так как AC⊥BD в точке P, треугольник APD прямоугольный с прямым углом при P. Тогда медиана PM к гипотенузе AD равна половине гипотенузы: PM=MA=MD.
Из равнобедренности треугольника APM (PM=AM): ∠MPA=∠MAP=∠DAC.
Углы ∠DAC и ∠DBC — вписанные в одну окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC: ∠DAC=∠DBC.
Теперь рассмотрим прямую MP и её продолжение за точку P. В треугольнике BPC (∠BPC=90∘) имеем ∠PBC=∠DBC=∠MPA. Рассмотрим точку Q на BC, такую что PQ⊥BC. Тогда ∠BPQ=90∘−∠PBC. С другой стороны,
∠MPB=∠APB−∠APM=90∘−∠DAC=90∘−∠PBC=∠BPQ.Значит лучи PM (продолженный за P) и PQ совпадают (отложены от PB на один и тот же угол по одну сторону). Следовательно M, P, Q коллинеарны, и прямая MP перпендикулярна BC, что и требовалось доказать.
б) Радиус описанной окружности.
По теореме о пересекающихся хордах AP⋅PC=BP⋅PD:
3⋅8=4⋅PD⇒PD=6.Введём координаты: P=(0;0), AC — ось x, BD — ось y. Тогда:
1. A=(−3;0), C=(8;0);
2. B=(0;4), D=(0;−6).
Центр описанной окружности O0(x0;y0) равноудалён от всех четырёх точек.
Из ∣O0A∣=∣O0C∣:
(x0+3)2+y02=(x0−8)2+y02⇒6x0+9=−16x0+64⇒x0=25.Из ∣O0B∣=∣O0D∣:
x02+(y0−4)2=x02+(y0+6)2⇒−8y0+16=12y0+36⇒y0=−1.Найдём радиус:
R2=(25+3)2+(−1)2=(211)2+1=4121+1=4125, R=2125=255.Ответ:
б) R=255.