Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке P. а) Докажите, что прямая, проходящая через точку P и середину стороны AD, перпендикулярна стороне BC. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, если известно, что отрезки диагоналей равны: AP = 3 , BP = 4 , CP = 8 .

а) Доказательство. Пусть M — середина AD . Так как AC BD в точке P , треугольник APD прямоугольный с прямым углом при P . Тогда медиана PM к гипотенузе AD равна половине гипотенузы: PM = MA = MD . Из равнобедренности треугольника APM ( PM = AM ): MPA = MAP = DAC . Углы DAC и DBC — вписанные в одну окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC : DAC = DBC . Теперь рассмотрим прямую MP и её продолжение за точку P . В треугольнике BPC ( BPC = 90^ ) имеем PBC = DBC = MPA . Рассмотрим точку Q на BC , такую что PQ BC . Тогда BPQ = 90^ - PBC . С другой стороны, MPB = APB - APM = 90^ - DAC = 90^ - PBC = BPQ. Значит лучи PM (продолженный за P ) и PQ совпадают (отложены от PB на один и тот же угол по одну сторону). Следовательно M , P , Q коллинеарны, и прямая MP перпендикулярна BC , что и требовалось доказать. б) Радиус описанной окружности. По теореме о пересекающихся хордах AP * PC = BP * PD : 3 * 8 = 4 * PD =>PD = 6. Введём координаты: P = (0;0) , AC — ось x , BD — ось y . Тогда: 1. A = (-3;0) , C = (8;0) ; 2. B = (0;4) , D = (0;-6) . Центр описанной окружности O_0(x_0;y_0) равноудалён от всех четырёх точек. Из |O_0A| = |O_0C| : (x_0+3)^2 + y_0^2 = (x_0-8)^2 + y_0^2 =>6x_0 + 9 = -16x_0 + 64 =>x_0 = (5)/(2). Из |O_0B| = |O_0D| : x_0^2 + (y_0-4)^2 = x_0^2 + (y_0+6)^2 =>-8y_0 + 16 = 12y_0 + 36 =>y_0 = -1. Найдём радиус: R^2 = ((5)/(2)+3)^2 + (-1)^2 = ((11)/(2))^2 + 1 = (121)/(4) + 1 = (125)/(4), R = (sqrt(125))/(2) = (5sqrt(5))/(2). Ответ: б) R = (5sqrt(5))/(2) .

5√5/2