Назовём цифровым эхом натурального числа произведение суммы его цифр на количество цифр в этом числе. Число называется гармоничным, если оно делится на своё цифровое эхо без остатка. Например, для числа 135 количество цифр равно 3 , сумма цифр 1+3+5=9 . Его цифровое эхо равно 3* 9=27 . Так как 135 делится на 27 ( 135=5* 27 ), число 135 является гармоничным. а) Может ли трёхзначное число, составленное из трёх различных нечётных цифр, быть гармоничным? б) Существует ли четырёхзначное гармоничное число, у которого все цифры различны и нечётны? в) Найдите наименьшее гармоничное число, большее 1000 .

а) Рассмотрим число N=135 . Его цифры 1;3;5 — все различные и нечётные. Сумма цифр S=9 , количество цифр k=3 , цифровое эхо E=k* S=3* 9=27. Проверка: 135=5* 27 , делится без остатка. Следовательно, такое число существует. б) Пусть N — искомое четырёхзначное число. Все его цифры нечётные, значит и последняя цифра нечётна, поэтому N — нечётное число и не делится на 2 . С другой стороны, цифровое эхо E=4* S кратно 4 . Если N делится на E , то N делится на 4 , в частности — на 2 . Получаем противоречие. Следовательно, такого числа не существует. в) Для четырёхзначного числа N цифровое эхо равно E=4S , где S — сумма цифр. Будем перебирать N , начиная с 1001 : | N | S | E=4S | Делимость N на E | |---|---|---|---| | 1001 | 2 | 8 | 1001/8=125,125 — нет | | 1002 | 3 | 12 | 1002/12=83,5 — нет | | 1003 | 4 | 16 | 1003 нечётное — нет | | 1004 | 5 | 20 | 1004/20=50,2 — нет | | 1005 | 6 | 24 | 1005 нечётное — нет | | 1006 | 7 | 28 | 1006/28~ 35,93 — нет | | 1007 | 8 | 32 | 1007 нечётное — нет | | 1008 | 9 | 36 | 1008/36=28 — да | Значит, наименьшее гармоничное число, большее 1000 , — это 1008 . Проверка: 1008=2^4* 3^2* 7, E=36=4* 9, 1008/36=28. Ответ: а) да, например 135 ; б) нет; в) 1008 .

А) да (135), Б) нет, В) 1008