Задача №17199

Назовём цифровым эхом натурального числа произведение суммы его цифр на количество цифр в этом числе. Число называется гармоничным, если оно делится на своё цифровое эхо без остатка.

Например, для числа $135$ количество цифр равно $3\text{,}$ сумма цифр $1+3+5=9\text{.}$ Его цифровое эхо равно $3\cdot 9=27\text{.}$ Так как $135$ делится на $27$ ($135=5\cdot 27$), число $135$ является гармоничным.

а) Может ли трёхзначное число, составленное из трёх различных нечётных цифр, быть гармоничным?
б) Существует ли четырёхзначное гармоничное число, у которого все цифры различны и нечётны?
в) Найдите наименьшее гармоничное число, большее $1000\text{.}$

а) Рассмотрим число $N=135\text{.}$ Его цифры $\{1;3;5\}$ — все различные и нечётные.

Сумма цифр $S=9\text{,}$ количество цифр $k=3\text{,}$ цифровое эхо

$$E=k\cdot S=3\cdot 9=27.$$

Проверка: $135=5\cdot 27\text{,}$ делится без остатка.

Следовательно, такое число существует.

б) Пусть $N$ — искомое четырёхзначное число. Все его цифры нечётные, значит и последняя цифра нечётна, поэтому $N$ — нечётное число и не делится на $2\text{.}$

С другой стороны, цифровое эхо

$$E=4\cdot S$$

кратно $4\text{.}$ Если $N$ делится на $E\text{,}$ то $N$ делится на $4\text{,}$ в частности — на $2\text{.}$ Получаем противоречие.

Следовательно, такого числа не существует.

в) Для четырёхзначного числа $N$ цифровое эхо равно $E=4S\text{,}$ где $S$ — сумма цифр. Будем перебирать $N\text{,}$ начиная с $1001\text{:}$

Значит, наименьшее гармоничное число, большее $1000\text{,}$ — это $1008\text{.}$

Проверка:

$$1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7,E=36=4\cdot 9,1008/36=28.$$

Ответ:

а) да, например $135\text{;}$

б) нет;

в) $1008\text{.}$