В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а высота пирамиды SO равна 6. На ребре SC отмечена точка K так, что SK:KC = 1:2 . Через точки A и K проведена плоскость gamma , параллельная прямой BD . а) Докажите, что диагонали сечения пирамиды плоскостью gamma перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды с вершиной C и основанием — сечением пирамиды SABCD плоскостью gamma .

Введём систему координат: O = (0;0;0) , диагонали основания направим по осям. Тогда A = (3sqrt(2);0;0), C = (-3sqrt(2);0;0), B = (0;3sqrt(2);0), D = (0;-3sqrt(2);0), S = (0;0;6). Проверка: |AB| = sqrt(18+18) = 6 . Точка K делит SC в отношении 1:2 , считая от S : K = S + (1)/(3)(C - S) = (-sqrt(2);0;4). Плоскость gamma содержит точки A , K и направление BD = (0;1;0) . Вектор AK = (-4sqrt(2);0;4) . Нормаль: n = AK * BD = (-4;0;-4sqrt(2)) (1;0;sqrt(2)). Уравнение плоскости: x + sqrt(2)z = 3sqrt(2). Найдём сечение пирамиды. Подставим параметризации боковых рёбер SB и SD : Для SB : точка (0;3sqrt(2)t;6-6t) . Из условия sqrt(2)(6-6t) = 3sqrt(2) получаем t = (1)/(2) , откуда M = (0;(3sqrt(2))/(2);3). Аналогично для SD : N = (0;-(3sqrt(2))/(2);3). Сечение — четырёхугольник AMKN . а) Найдём диагонали: AK = (-4sqrt(2);0;4), MN = (0;-3sqrt(2);0). Скалярное произведение: AK * MN = 0. Следовательно, AK MN , что и требовалось доказать. б) Вычислим длины диагоналей: |AK| = sqrt(32+16) = sqrt(48) = 4sqrt(3), |MN| = sqrt(18) = 3sqrt(2). Диагонали пересекаются в точке (0;0;3) , лежащей внутри четырёхугольника. Площадь сечения: S_(AMKN) = (1)/(2) * |AK| * |MN| = (1)/(2) * 4sqrt(3) * 3sqrt(2) = 6sqrt(6). Расстояние от точки C = (-3sqrt(2);0;0) до плоскости x + sqrt(2)z - 3sqrt(2) = 0 : d = (|-3sqrt(2) - 3sqrt(2)|)/(sqrt(1+2)) = (6sqrt(2))/(sqrt(3)) = 2sqrt(6). Объём искомой пирамиды: V = (1)/(3) * S_(AMKN) * d = (1)/(3) * 6sqrt(6) * 2sqrt(6) = (1)/(3) * 72 = 24. Ответ: а) диагонали сечения перпендикулярны; б) V = 24 .

24