Задача №17197

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна 6, а высота пирамиды $SO$ равна 6. На ребре $SC$ отмечена точка $K$ так, что $SK:KC=1:2\text{.}$ Через точки $A$ и $K$ проведена плоскость $\gamma \text{,}$ параллельная прямой $BD\text{.}$

а) Докажите, что диагонали сечения пирамиды плоскостью $\gamma$ перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды с вершиной $C$ и основанием — сечением пирамиды $SABCD$ плоскостью $\gamma \text{.}$

Введём систему координат: $O=(0;0;0)\text{,}$ диагонали основания направим по осям. Тогда

$$A=(3\sqrt{2};0;0),C=(-3\sqrt{2};0;0),$$ $$B=(0;3\sqrt{2};0),D=(0;-3\sqrt{2};0),S=(0;0;6).$$

Проверка: $|AB|=\sqrt{18+18}=6\text{.}$

Точка $K$ делит $SC$ в отношении $1:2\text{,}$ считая от $S\text{:}$

$$K=S+\frac{1}{3}(C-S)=(-\sqrt{2};0;4).$$

Плоскость $\gamma$ содержит точки $A\text{,}$ $K$ и направление $\overrightarrow{BD}=(0;1;0)\text{.}$ Вектор $\overrightarrow{AK}=(-4\sqrt{2};0;4)\text{.}$ Нормаль:

$$\vec{n}=\overrightarrow{AK}\times \overrightarrow{BD}=(-4;0;-4\sqrt{2})\parallel (1;0;\sqrt{2}).$$

Уравнение плоскости:

$$x+\sqrt{2}z=3\sqrt{2}.$$

Найдём сечение пирамиды. Подставим параметризации боковых рёбер $SB$ и $SD\text{:}$

Для $SB\text{:}$ точка $(0;3\sqrt{2}t;6-6t)\text{.}$ Из условия $\sqrt{2}(6-6t)=3\sqrt{2}$ получаем $t=\frac{1}{2}\text{,}$ откуда

$$M=\left(0;\frac{3\sqrt{2}}{2};3\right).$$

Аналогично для $SD\text{:}$

$$N=\left(0;-\frac{3\sqrt{2}}{2};3\right).$$

Сечение — четырёхугольник $AMKN\text{.}$

а) Найдём диагонали:

$$\overrightarrow{AK}=(-4\sqrt{2};0;4),\overrightarrow{MN}=(0;-3\sqrt{2};0).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{MN}=0.$$

Следовательно, $AK\perp MN\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Вычислим длины диагоналей:

$$|AK|=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3},$$ $$|MN|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$$

Диагонали пересекаются в точке $(0;0;3)\text{,}$ лежащей внутри четырёхугольника. Площадь сечения:

$$S_{AMKN}=\frac{1}{2}\cdot |AK|\cdot |MN|=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{6}.$$

Расстояние от точки $C=(-3\sqrt{2};0;0)$ до плоскости $x+\sqrt{2}z-3\sqrt{2}=0\text{:}$

$$d=\frac{|-3\sqrt{2}-3\sqrt{2}|}{\sqrt{1+2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}.$$

Объём искомой пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{AMKN}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{1}{3}\cdot 72=24.$$

Ответ:

а) диагонали сечения перпендикулярны;

б) $V=24\text{.}$