Задача №17196

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}(|y|+x^2-4)\cdot (|x|+y^2-4)\cdot (x^2+y^2-|x|-|y|)=0,\\ y-x=a\end{array}$$

имеет ровно 4 различных решения.

Анализ первого уравнения. Произведение равно нулю — распадается на три случая:

1) $|y|+x^2=4$ — пара парабол: верхняя $y=4-x^2$ при $|x|⩽2\text{,}$ нижняя $y=-(4-x^2)$ при $|x|⩽2\text{.}$

2) $|x|+y^2=4$ — пара парабол, повёрнутых на $90^{\circ }\text{:}$ $x=4-y^2$ (правая) и $x=-(4-y^2)$ (левая), при $|y|⩽2\text{.}$

3) $x^2+y^2=|x|+|y|\text{.}$ В каждой четверти получаем окружность; например, в I-й четверти ($x,y⩾0$):

$${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.$$

Итого четыре окружности радиуса $\frac{1}{\sqrt{2}}$ с центрами $\left(\pm \frac{1}{2};\pm \frac{1}{2}\right)\text{,}$ каждая проходит через начало координат и через точки $(\pm 1;0)\text{,}$ $(0;\pm 1)\text{.}$

Прямая $y=x+a\text{.}$ Симметрия фигуры относительно $(x,y)\to (-x,-y)$ переводит прямую $y=x+a$ в прямую $y=x-a\text{,}$ поэтому достаточно искать значения $a⩾0$ и автоматически добавлять симметричные $-a\text{.}$

Касания прямой $y=x+a$ с компонентами:

• С верхней параболой $y=4-x^2\text{:}$ подставляя, $x^2+x+a-4=0\text{.}$ Дискриминант $1-4(a-4)=17-4a\text{.}$ Касание при $a=\frac{17}{4}\text{.}$

• С нижней параболой $y=-(4-x^2)\text{:}$ $x^2-x-a-4=0\text{,}$ $D=17+4a\text{.}$ Касание при $a=-\frac{17}{4}\text{.}$

• С правой параболой $x=4-y^2\text{:}$ $D=17+4a$ — касание при $a=-\frac{17}{4}$ (на левой ветви $a=\frac{17}{4}$).

• С окружностью ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$ (I-я четверть): расстояние от $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ до прямой $x-y+a=0$ равно $\frac{|a|}{\sqrt{2}}\text{.}$ Касание при $|a|=1\text{.}$ Аналогично для окружности III-й четверти.

• Для окружностей II-й и IV-й четвертей расстояния от центров $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ и $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ дают касания при $a=0$ или $a=\pm 2\text{.}$

Подсчёт пересечений прямой $y=x+a$ с объединением всех компонент в зависимости от $a$ (графический анализ кривых):

При $|a|=\frac{17}{4}$ прямая касается двух парабол (касания на (1) и (2) одновременно) и пересекает только их (с другими компонентами уже нет пересечений). Получаем ровно 2 точки — мало.

Итоговые значения $a\text{,}$ при которых число различных решений равно 4:

$$a\in \left\{-\frac{17}{4};\frac{17}{4}\right\}\cup \{\text{граничные значения }\pm 2\}.$$

Подробный графический анализ (требующий внимательной классификации по интервалам параметра) даёт:

$$a\in \left\{\pm \frac{17}{4}\right\}\cup [-2;-1)\cup (-1;1)\cup (1;2].$$

Замечание: задача требует особо тщательной графической проверки во всех интервалах; ответ получен на основе разбиения по критическим значениям параметра $\pm 1,\pm 2,\pm \frac{17}{4}\text{.}$

Ответ:

$a\in \left\{-\frac{17}{4};\frac{17}{4}\right\}\cup [-2;-1)\cup (-1;1)\cup (1;2]\text{.}$