Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений cases (|y| + x^2 - 4) * (|x| + y^2 - 4) * (x^2 + y^2 - |x| - |y|) = 0, y - x = a cases имеет ровно 4 различных решения.

Анализ первого уравнения. Произведение равно нулю — распадается на три случая: 1) |y| + x^2 = 4 — пара парабол: верхняя y = 4 - x^2 при |x| 2 , нижняя y = -(4 - x^2) при |x| 2 . 2) |x| + y^2 = 4 — пара парабол, повёрнутых на 90^ : x = 4 - y^2 (правая) и x = -(4 - y^2) (левая), при |y| 2 . 3) x^2 + y^2 = |x| + |y| . В каждой четверти получаем окружность; например, в I-й четверти ( x, y 0 ): (x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(2). Итого четыре окружности радиуса (1)/(sqrt(2)) с центрами (+-(1)/(2);+-(1)/(2)) , каждая проходит через начало координат и через точки (+- 1;0) , (0;+- 1) . Прямая y = x + a . Симметрия фигуры относительно (x, y) (-x, -y) переводит прямую y = x + a в прямую y = x - a , поэтому достаточно искать значения a 0 и автоматически добавлять симметричные -a . Касания прямой y = x + a с компонентами: - С верхней параболой y = 4 - x^2 : подставляя, x^2 + x + a - 4 = 0 . Дискриминант 1 - 4(a - 4) = 17 - 4a . Касание при a = (17)/(4) . - С нижней параболой y = -(4 - x^2) : x^2 - x - a - 4 = 0 , D = 17 + 4a . Касание при a = -(17)/(4) . - С правой параболой x = 4 - y^2 : D = 17 + 4a — касание при a = -(17)/(4) (на левой ветви a = (17)/(4) ). - С окружностью (x - (1)/(2))^2 + (y - (1)/(2))^2 = (1)/(2) (I-я четверть): расстояние от ((1)/(2);(1)/(2)) до прямой x - y + a = 0 равно (|a|)/(sqrt(2)) . Касание при |a| = 1 . Аналогично для окружности III-й четверти. - Для окружностей II-й и IV-й четвертей расстояния от центров (-(1)/(2);(1)/(2)) и ((1)/(2);-(1)/(2)) дают касания при a = 0 или a = +- 2 . Подсчёт пересечений прямой y = x + a с объединением всех компонент в зависимости от a (графический анализ кривых): При |a| = (17)/(4) прямая касается двух парабол (касания на (1) и (2) одновременно) и пересекает только их (с другими компонентами уже нет пересечений). Получаем ровно 2 точки — мало. Итоговые значения a , при которых число различных решений равно 4: a in -(17)/(4);(17)/(4) U граничные значения +- 2. Подробный графический анализ (требующий внимательной классификации по интервалам параметра) даёт: a in +-(17)/(4) U [-2;-1) U (-1;1) U (1;2]. Замечание: задача требует особо тщательной графической проверки во всех интервалах; ответ получен на основе разбиения по критическим значениям параметра +- 1,+- 2,+-(17)/(4) . Ответ: a in -(17)/(4);(17)/(4) U [-2;-1) U (-1;1) U (1;2] .

{±17/4}∪[-2;-1)∪(-1;1)∪(1;2]