ABCD — параллелограмм, точка M — середина BC , на CD отмечена точка N так, что CN : ND = 3 : 1 . AB(2;5) , AD(3;-4) . Найдите длину вектора MN .

Задача №17195: Векторы

Выразим $M N$ через $A B$ и $A D .$

$M$ — середина $B C :$

A M = A B + \frac{1}{2} B C = A B + \frac{1}{2} A D .

$N$ лежит на $C D$ с $C N : N D = 3 : 1,$ значит

D N = \frac{1}{4} D C = \frac{1}{4} A B .

Тогда

A N = A D + \frac{1}{4} A B .

Найдём $M N :$

M N = A N - A M = \frac{1}{2} A D - \frac{3}{4} A B .

Подставим координаты:

M N = \frac{1}{2} (3; - 4) - \frac{3}{4} (2; 5) = (\frac{3}{2}; - 2) - (\frac{3}{2}; \frac{15}{4}) = (0; - \frac{23}{4}) .

Тогда

∣ M N ∣ = \frac{23}{4} = 5, 75.

Ответ: $5, 75 .$