Задача №17193

Решите неравенство:

$$\frac{{\log }_{1-2x}(x^4+x^3-5x+7)-{\log }_{1-2x}(x^4+x^3-3x+4)}{4^x-12\cdot 2^x+32}⩾0.$$

Неравенство:

$$\frac{{\log }_{1-2x}(x^4+x^3-5x+7)-{\log }_{1-2x}(x^4+x^3-3x+4)}{4^x-12\cdot 2^x+32}⩾0.$$

ОДЗ:

1) $1-2x>0$ и $1-2x\ne 1\text{,}$ т.е. $x<\frac{1}{2}$ и $x\ne 0\text{.}$

2) Аргументы логарифмов положительны.

3) Знаменатель не нуль.

Аргументы логарифмов. Их разность:

$$(x^4+x^3-5x+7)-(x^4+x^3-3x+4)=3-2x.$$

Оба многочлена положительны при всех $x\in \mathbb{R}$ (минимум $x^4+x^3-3x+4\approx 2,49>0\text{,}$ аналогично для второго). Проверять не нужно — выполняется автоматически.

Знаменатель: $4^x-12\cdot 2^x+32=(2^x-4)(2^x-8)\text{.}$ Нули при $x=2$ и $x=3\text{.}$ Оба вне ОДЗ ($x<\frac{1}{2}$).

При $x<\frac{1}{2}\text{:}$ $2^x<\sqrt{2}<4<8\text{,}$ значит оба множителя отрицательны, знаменатель положителен.

Значит знак выражения совпадает со знаком числителя:

$${\log }_{1-2x}\frac{x^4+x^3-5x+7}{x^4+x^3-3x+4}⩾0.$$

Обозначим

$$u=\frac{x^4+x^3-5x+7}{x^4+x^3-3x+4}=1+\frac{3-2x}{x^4+x^3-3x+4}.$$

Знаменатель дроби всегда положителен. При $x<\frac{1}{2}\text{:}$ $3-2x>2>0\text{.}$ Значит $u>1$ строго.

Анализ основания $b=1-2x\text{:}$

1) При $x<0\text{:}$ $b>1\text{,}$ и ${\log }_{b}u⩾0\iff u⩾1\text{.}$ Так как $u>1\text{,}$ неравенство выполнено.

2) При $0<x<\frac{1}{2}\text{:}$ $0<b<1\text{,}$ и ${\log }_{b}u⩾0\iff u⩽1\text{.}$ Так как $u>1\text{,}$ неравенство не выполнено.

3) $x=0$ исключён из ОДЗ.

Итого: $x\in (-\infty ;0)\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;0)\text{.}$