Решите неравенство: (_(1-2x)(x^4 + x^3 - 5x + 7) - _(1-2x)(x^4 + x^3 - 3x + 4))/(4^x - 12 * 2^x + 32) 0.

Неравенство: (_(1-2x)(x^4 + x^3 - 5x + 7) - _(1-2x)(x^4 + x^3 - 3x + 4))/(4^x - 12 * 2^x + 32) 0. ОДЗ: 1) 1 - 2x > 0 и 1 - 2x != 1 , т.е. x < (1)/(2) и x != 0 . 2) Аргументы логарифмов положительны. 3) Знаменатель не нуль. Аргументы логарифмов. Их разность: (x^4 + x^3 - 5x + 7) - (x^4 + x^3 - 3x + 4) = 3 - 2x. Оба многочлена положительны при всех x in R (минимум x^4 + x^3 - 3x + 4 ~ 2,49 > 0 , аналогично для второго). Проверять не нужно — выполняется автоматически. Знаменатель: 4^x - 12 * 2^x + 32 = (2^x - 4)(2^x - 8) . Нули при x = 2 и x = 3 . Оба вне ОДЗ ( x < (1)/(2) ). При x < (1)/(2) : 2^x < sqrt(2) < 4 < 8 , значит оба множителя отрицательны, знаменатель положителен. Значит знак выражения совпадает со знаком числителя: _(1-2x) (x^4 + x^3 - 5x + 7)/(x^4 + x^3 - 3x + 4) 0. Обозначим u = (x^4 + x^3 - 5x + 7)/(x^4 + x^3 - 3x + 4) = 1 + (3 - 2x)/(x^4 + x^3 - 3x + 4). Знаменатель дроби всегда положителен. При x < (1)/(2) : 3 - 2x > 2 > 0 . Значит u > 1 строго. Анализ основания b = 1 - 2x : 1) При x < 0 : b > 1 , и _b u 0 <=> u 1 . Так как u > 1 , неравенство выполнено. 2) При 0 < x < (1)/(2) : 0 < b < 1 , и _b u 0 <=> u 1 . Так как u > 1 , неравенство не выполнено. 3) x = 0 исключён из ОДЗ. Итого: x in (-inf;0) . Ответ: x in (-inf;0) .

x in (-infty; 0)