Задача №17192

А) Решите уравнение
${\log }_2(\cos x)\cdot {\log }_{\cos x}({\sin }^{2}x)=-1\text{.}$
Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-4\pi ;-\frac{11\pi }{4}\right]\text{.}$

А) ОДЗ: $\cos x>0\text{,}$ $\cos x\ne 1$ (для логарифма с основанием $\cos x$), ${\sin }^{2}x>0\text{.}$

Перейдём к основанию $2\text{,}$ используя ${\log }_{\cos x}({\sin }^{2}x)=\frac{{\log }_2({\sin }^{2}x)}{{\log }_2(\cos x)}\text{:}$

Отсюда ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\text{,}$ $\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Из ОДЗ $\cos x>0$ оставляем серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ и $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}$ (две другие серии $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n$ дают $\cos x<0$ и не подходят).

Итого: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Заметим, что $-\frac{11\pi }{4}=-3\pi +\frac{\pi }{4}\text{,}$ $-4\pi =-\frac{16\pi }{4}\text{.}$

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ при $n=-2$ имеем $x=\frac{\pi }{4}-4\pi =-\frac{15\pi }{4}\text{,}$ и $-\frac{16\pi }{4}⩽-\frac{15\pi }{4}⩽-\frac{11\pi }{4}\text{.}$ Корень $-\frac{15\pi }{4}$ подходит.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ при $n=-2$ получаем $x=-\frac{17\pi }{4}<-4\pi \text{,}$ при $n=-1$ — $x=-\frac{9\pi }{4}>-\frac{11\pi }{4}\text{.}$ Ни один из этих корней не лежит в отрезке.

Ответ:

А) $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}$

Б) $-\frac{15\pi }{4}$