Задача №17191

А) Решите уравнение

$$\frac{{\log }_{\sqrt{2}\sin x}(1-\sin 2x)-2}{\sqrt{2}\cos x+1}=0.$$

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

А) Решение уравнения

$$\frac{{\log }_{\sqrt{2}\sin x}(1-\sin 2x)-2}{\sqrt{2}\cos x+1}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

ОДЗ:

• основание логарифма: $\sqrt{2}\sin x>0$ и $\sqrt{2}\sin x\ne 1\text{,}$ то есть $\sin x>0$ и $\sin x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}\text{;}$
• аргумент логарифма: $1-\sin 2x>0\text{,}$ то есть $\sin 2x\ne 1\text{;}$
• знаменатель: $\sqrt{2}\cos x+1\ne 0\text{,}$ то есть $\cos x\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$

Числитель = 0:

$${\log }_{\sqrt{2}\sin x}(1-\sin 2x)=2\iff (\sqrt{2}\sin x{)}^2=1-\sin 2x.$$ $$2{\sin }^{2}x=1-\sin 2x\iff 1-\cos 2x=1-\sin 2x\iff \sin 2x=\cos 2x.$$ $$\mathrm{tg}2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+\pi k\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

Отбор по ОДЗ (период $2\pi \text{,}$ четыре кандидата $x=\frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{9\pi }{8},\frac{13\pi }{8}$):

• $x=\frac{\pi }{8}\text{:}$ $\sin x>0\text{,}$ $\sin x\ne \frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1\text{,}$ $\cos x>0\text{.}$ Подходит.
• $x=\frac{5\pi }{8}\text{:}$ $\sin x=\sin \frac{3\pi }{8}>0$ (и $\ne \frac{1}{\sqrt{2}}$), $\sin 2x=\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1\text{,}$ $\cos x=-\cos \frac{3\pi }{8}\ne -\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$ Подходит.
• $x=\frac{9\pi }{8},\frac{13\pi }{8}\text{:}$ $\sin x<0$ — не подходят.

Решение: $x=\frac{\pi }{8}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{8}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Отбор корней на $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$

Для серии $x=\frac{\pi }{8}+2\pi n\text{:}$

$$-3\pi ⩽\frac{\pi }{8}+2\pi n⩽-\frac{3\pi }{2}\iff -\frac{25}{16}⩽n⩽-\frac{13}{16}\Rightarrow n=-1.$$ $$x=\frac{\pi }{8}-2\pi =-\frac{15\pi }{8}.$$

Проверка: $-3\pi =-\frac{24\pi }{8}⩽-\frac{15\pi }{8}⩽-\frac{12\pi }{8}=-\frac{3\pi }{2}\text{.}$

Для серии $x=\frac{5\pi }{8}+2\pi n$ при $n=-1$ получаем $x=\frac{5\pi }{8}-2\pi =-\frac{11\pi }{8}\text{.}$ Но $-\frac{11\pi }{8}>-\frac{12\pi }{8}=-\frac{3\pi }{2}$ — не входит в отрезок. Других $n$ нет.

Ответ:

А) $x=\frac{\pi }{8}+2\pi n,x=\frac{5\pi }{8}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) $-\frac{15\pi }{8}\text{.}$