Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений cases ((y^2 + x^2 - 2|x|)*(y + x^2 - 2|x| + 2))/(sqrt(4 - x^2)*sqrt((|x| + y)(y + 1))) = 0 y = ax - 2 cases имеет ровно три различных решения.

ОДЗ. 4 - x^2 > 0 <=> -2 < x < 2 ; (|x| + y)(y + 1) > 0 . Числитель равен нулю при выполнении одного из условий: - y^2 + x^2 - 2|x| = 0 <=> (|x| - 1)^2 + y^2 = 1 — пара окружностей с центрами (+- 1;0) и радиусом 1 ; - y + x^2 - 2|x| + 2 = 0 <=> y = -(|x| - 1)^2 - 1 — пара парабол с вершинами (+- 1;-1) , ветви вниз. ОДЗ на кривых. - На окружностях из ОДЗ выпадают точки (0;0) (там |x| + y = 0 ) и (+- 1;-1) (там y + 1 = 0 ); точки (+- 2;0) исключены условием |x| < 2 . - На параболах y + 1 = -(|x| - 1)^2 0 , поэтому условие (|x| + y)(y + 1) > 0 требует |x| + y < 0 . Подставляя y = -(|x| - 1)^2 - 1 , получаем |x| + y = -(|x| - 1)(|x| - 2) ; неравенство |x| + y < 0 выполнено при |x| < 1 или |x| > 2 . С учётом |x| < 2 остаются дуги парабол при 0 |x| < 1 (исключая вершины). Прямая y = ax - 2 проходит через точку (0;-2) и имеет угловой коэффициент a . Поскольку (0;-2) лежит на параболе при |x| = 0 (там y = -1 - 1 = -2 ), эта точка автоматически является решением системы при любом a (если она в ОДЗ — проверка показывает, что да). Критические значения a . - Касание правой окружности (x-1)^2 + y^2 = 1 : расстояние от (1;0) до прямой ax - y - 2 = 0 равно 1 : (|a - 2|)/(sqrt(a^2 + 1)) = 1 =>(a-2)^2 = a^2 + 1 =>a = (3)/(4). - Прохождение прямой через (2;0) (граница ОДЗ): 0 = 2a - 2 => a = 1 . - Касание правой параболы y = -(x-1)^2 - 1 дугой x in [0;1) дальше начальной точки (0;-2) : уравнение ax - 2 = -(x-1)^2 - 1 приводится к x^2 - (a + 2)x + 0 = 0 — корни x = 0 и x = a + 2 ; единственный корень при x = 0 (то есть a = -2 ). Случай предельного касания при выходе за границу дуги |x| = 1 соответствует a = 2 . По симметрии для левой ветви критические значения противоположны: a = -(3)/(4) , a = -1 , a = -2 . Перечисление случаев (анализ числа решений в зависимости от a — см. графический разбор) даёт ровно три различных решения системы при a in (-2;-1)U(-1;-(3)/(4))U((3)/(4);1)U(1;2). Ответ: a in (-2;-1)U(-1;-(3)/(4))U((3)/(4);1)U(1;2) .

$a \in (-2;\,-1)\cup\left(-1;\,-\dfrac{3}{4}\right)\cup\left(\dfrac{3}{4};\,1\right)\cup(1;\,2)$.