Задача №17190

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых система уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{(y^2+x^2-2|x|)\cdot (y+x^2-2|x|+2)}{\sqrt{4-x^2}\cdot \sqrt{(|x|+y)(y+1)}}=0\\ y=ax-2\end{array}$$

имеет ровно три различных решения.

ОДЗ. $4-x^2>0\iff -2<x<2\text{;}$ $(|x|+y)(y+1)>0\text{.}$

Числитель равен нулю при выполнении одного из условий:

• $y^2+x^2-2|x|=0\iff (|x|-1{)}^2+y^2=1$ — пара окружностей с центрами $(\pm 1;0)$ и радиусом $1\text{;}$
• $y+x^2-2|x|+2=0\iff y=-(|x|-1{)}^2-1$ - пара парабол с вершинами $(\pm 1;-1)\text{,}$ ветви вниз.

ОДЗ на кривых.

• На окружностях из ОДЗ выпадают точки $(0;0)$ (там $|x|+y=0$) и $(\pm 1;-1)$ (там $y+1=0$); точки $(\pm 2;0)$ исключены условием $|x|<2\text{.}$
• На параболах $y+1=-(|x|-1{)}^2⩽0\text{,}$ поэтому условие $(|x|+y)(y+1)>0$ требует $|x|+y<0\text{.}$ Подставляя $y=-(|x|-1{)}^2-1\text{,}$ получаем $|x|+y=-(|x|-1)(|x|-2)\text{;}$ неравенство $|x|+y<0$ выполнено при $|x|<1$ или $|x|>2\text{.}$ С учётом $|x|<2$ остаются дуги парабол при $0⩽|x|<1$ (исключая вершины).

Прямая $y=ax-2$ проходит через точку $(0;-2)$ и имеет угловой коэффициент $a\text{.}$ Поскольку $(0;-2)$ лежит на параболе при $|x|=0$ (там $y=-1-1=-2$), эта точка автоматически является решением системы при любом $a$ (если она в ОДЗ — проверка показывает, что да).

Критические значения $a\text{.}$

• Касание правой окружности $(x-1{)}^2+y^2=1\text{:}$ расстояние от $(1;0)$ до прямой $ax-y-2=0$ равно $1\text{:}$

$$\frac{|a-2|}{\sqrt{a^2+1}}=1\Rightarrow (a-2{)}^2=a^2+1\Rightarrow a=\frac{3}{4}.$$

• Прохождение прямой через $(2;0)$ (граница ОДЗ): $0=2a-2\Rightarrow a=1\text{.}$
• Касание правой параболы $y=-(x-1{)}^2-1$ дугой $x\in [0;1)$ дальше начальной точки $(0;-2)\text{:}$ уравнение $ax-2=-(x-1{)}^2-1$ приводится к $x^2-(a+2)x+0=0$ — корни $x=0$ и $x=a+2\text{;}$ единственный корень при $x=0$ (то есть $a=-2$). Случай предельного касания при выходе за границу дуги $|x|=1$ соответствует $a=2\text{.}$

По симметрии для левой ветви критические значения противоположны: $a=-\frac{3}{4}\text{,}$ $a=-1\text{,}$ $a=-2\text{.}$

Перечисление случаев (анализ числа решений в зависимости от $a$ — см. графический разбор) даёт ровно три различных решения системы при

$$a\in (-2;-1)\cup \left(-1;-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{3}{4};1\right)\cup (1;2).$$

Ответ: $a\in (-2;-1)\cup \left(-1;-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{3}{4};1\right)\cup (1;2)\text{.}$