Задача №17189

В июле планируется взять кредит в банке на срок 6 лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $r\text{,}$ если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит 3,2 млн рублей, а общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 16,2 млн рублей.

Пусть $S$ — первоначальный долг (млн руб.), $d$ — постоянная разность июльских долгов.

Долг по июлю $k$-го года (за начало отсчёта берём июль 0-го года): $S_k=S-kd\text{.}$

Через 6 лет долг гасится полностью: $S_6=0\Rightarrow S=6d\text{.}$

Платёж в $k$-й год. В январе долг $S_{k-1}$ возрастает в $\left(1+\frac{r}{100}\right)$ раз. С февраля по июнь платится $P_k\text{,}$ чтобы к июлю долг стал $S_k=S_{k-1}-d\text{.}$

$$P_k=S_{k-1}\left(1+\frac{r}{100}\right)-S_k=S_{k-1}\left(1+\frac{r}{100}\right)-(S_{k-1}-d).$$ $$P_k=S_{k-1}\cdot \frac{r}{100}+d.$$

С учётом $S_{k-1}=S-(k-1)d=(6-k+1)d=(7-k)d\text{:}$

$$P_k=(7-k)d\cdot \frac{r}{100}+d=d\left(1+\frac{(7-k)r}{100}\right).$$

Наибольший платёж — в первый год ($k=1$):

$$P_1=d\left(1+\frac{6r}{100}\right)=3,2\text{\hspace{1em}(*)}$$

Сумма всех платежей:

$$\sum _{k=1}^6{P}_k=6d+\frac{dr}{100}\sum _{k=1}^6(7-k)=6d+\frac{21dr}{100}=16,2\text{\hspace{1em}(**)}$$

(${\sum }_{k=1}^6(7-k)=6+5+4+3+2+1=21\text{.}$)

Из () и () делим () / ():

$$\frac{6+21r/100}{1+6r/100}=\frac{16,2}{3,2}=\frac{81}{16}=5,0625.$$

Пусть $u=r/100\text{:}$

$$16(6+21u)=81(1+6u),$$ $$96+336u=81+486u,$$ $$15=150u\Rightarrow u=0,1.$$

Значит $r=10\%\text{.}$

Проверка. $d(1+0,6)=1,6d=3,2\Rightarrow d=2\text{.}$ Тогда $\sum P_k=12+21\cdot 0,2=12+4,2=16,2\text{.}$ ✓

Ответ: $r=10$