В июле планируется взять кредит в банке на срок 6 лет. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r , если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит 3,2 млн рублей, а общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 16,2 млн рублей.

Пусть S — первоначальный долг (млн руб.), d — постоянная разность июльских долгов. Долг по июлю k -го года (за начало отсчёта берём июль 0-го года): S_k = S - kd . Через 6 лет долг гасится полностью: S_6 = 0 => S = 6d . Платёж в k -й год. В январе долг S_(k-1) возрастает в (1 + (r)/(100)) раз. С февраля по июнь платится P_k , чтобы к июлю долг стал S_k = S_(k-1) - d . P_k = S_(k-1)(1 + (r)/(100)) - S_k = S_(k-1)(1 + (r)/(100)) - (S_(k-1) - d). P_k = S_(k-1) * (r)/(100) + d. С учётом S_(k-1) = S - (k-1)d = (6 - k + 1)d = (7-k)d : P_k = (7-k)d * (r)/(100) + d = d(1 + ((7-k)r)/(100)). Наибольший платёж — в первый год ( k = 1 ): P_1 = d(1 + (6r)/(100)) = 3,2 * Сумма всех платежей: _(k=1)^(6) P_k = 6d + (dr)/(100) _(k=1)^(6)(7-k) = 6d + (21dr)/(100) = 16,2 ** ( _(k=1)^(6)(7-k) = 6+5+4+3+2+1 = 21 .) Из (*) и (**) делим (**) / (*): (6 + 21r/100)/(1 + 6r/100) = (16,2)/(3,2) = (81)/(16) = 5,0625. Пусть u = r/100 : 16(6 + 21u) = 81(1 + 6u), 96 + 336u = 81 + 486u, 15 = 150u => u = 0,1. Значит r = 10% . Проверка. d(1 + 0,6) = 1,6d = 3,2 => d = 2 . Тогда P_k = 12 + 21 * 0,2 = 12 + 4,2 = 16,2 . ✓ Ответ: r = 10

10