Задача №17187

Внутренний угол правильного пятиугольника равен $\frac{(5-2)\cdot 180^{\circ }}{5}=108^{\circ }\text{.}$

Углы из вершины B. Диагонали $BE$ и $BD$ делят угол $\angle ABC=108^{\circ }$ на три равные части по $36^{\circ }$ (треугольники $ABE$ и $BCD$ — равнобедренные с углом при вершине $108^{\circ }$ и углами при основании $36^{\circ }$). Значит $\angle ABE=\angle EBD=\angle DBC=36^{\circ }\text{.}$

Прямая BF. В правильном пятиугольнике перпендикуляр из вершины $B$ к противоположной стороне $DE$ совпадает с осью симметрии и делит угол $\angle EBD=36^{\circ }$ пополам. Поэтому $\angle EBF=18^{\circ }\text{,}$ и угол $BF$ со стороной $BA$ равен $\angle ABF=\angle ABE+\angle EBF=36^{\circ }+18^{\circ }=54^{\circ }\text{.}$

Квадрат ARPB. Вершины $R$ и $P$ построены так, что $AR\perp AB$ и $BP\perp AB\text{,}$ $|AR|=|BP|=|AB|\text{,}$ сторона $RP\parallel AB\text{.}$ Точка $K$ — пересечение прямой $BF$ со стороной $RP$ квадрата.

Треугольник BKP. $BP\perp AB\text{,}$ поэтому $\angle ABP=90^{\circ }\text{,}$ откуда

$$\angle PBK=\angle ABP-\angle ABF=90^{\circ }-54^{\circ }=36^{\circ }.$$

Также $RP\parallel AB\text{,}$ а $BP\perp AB\text{,}$ значит $\angle BPK=90^{\circ }\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $BKP\text{:}$

$$\angle BKP=180^{\circ }-90^{\circ }-36^{\circ }=54^{\circ }.$$

Ответ: $54^{\circ }\text{.}$