В прямоугольный треугольник вписана окружность. Периметр этого треугольника равен 40, а длина гипотенузы равна 17. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть катеты прямоугольного треугольника a и b , гипотенуза c = 17 , периметр P = a + b + c = 40 . Тогда a + b = 40 - 17 = 23 . Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r = (a + b - c)/(2). Почему так? Площадь треугольника S = (ab)/(2) , а также S = rp , где p = (a+b+c)/(2) — полупериметр. Если центр вписанной окружности соединить с вершинами и опустить перпендикуляры на стороны, то отрезки касательных из вершины прямого угла равны r , поэтому a = r + x , b = r + y , c = x + y . Отсюда a + b - c = 2r . Подставим числа: r = (23 - 17)/(2) = (6)/(2) = 3. Ответ: 3

3