Задача №17186

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Периметр этого треугольника равен 40, а длина гипотенузы равна 17. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть катеты прямоугольного треугольника $a$ и $b\text{,}$ гипотенуза $c=17\text{,}$ периметр $P=a+b+c=40\text{.}$ Тогда $a+b=40-17=23\text{.}$

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Почему так? Площадь треугольника $S=\frac{ab}{2}\text{,}$ а также $S=rp\text{,}$ где $p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр. Если центр вписанной окружности соединить с вершинами и опустить перпендикуляры на стороны, то отрезки касательных из вершины прямого угла равны $r\text{,}$ поэтому $a=r+x\text{,}$ $b=r+y\text{,}$ $c=x+y\text{.}$ Отсюда $a+b-c=2r\text{.}$

Подставим числа:

Ответ: 3