Задача №17184

Решите неравенство:

$$\frac{\sqrt{10-x}\cdot {\log }_{2}x-3{\log }_{2}x-2\sqrt{10-x}+6}{{\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+4}⩾0.$$

$$\frac{\sqrt{10-x}\cdot {\log }_{2}x-3{\log }_{2}x-2\sqrt{10-x}+6}{{\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+4}⩾0.$$

ОДЗ: $x>0\text{,}$ $10-x⩾0\text{,}$ знаменатель $\ne 0\text{.}$ То есть $0<x⩽10\text{,}$ ${\log }_{2}x\ne 1$ и ${\log }_{2}x\ne 4\text{,}$ значит $x\ne 2$ (а $x=16$ вне ОДЗ).

Числитель разложим группировкой:

$${\log }_{2}x\cdot (\sqrt{10-x}-3)-2(\sqrt{10-x}-3)=({\log }_{2}x-2)(\sqrt{10-x}-3).$$

Знаменатель разложим как квадратный трёхчлен относительно $t={\log }_{2}x\text{:}$

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)=({\log }_{2}x-1)({\log }_{2}x-4).$$

Неравенство:

$$\frac{({\log }_{2}x-2)(\sqrt{10-x}-3)}{({\log }_{2}x-1)({\log }_{2}x-4)}⩾0.$$

Знаки множителей на $(0;10]\setminus \{2\}\text{:}$

• ${\log }_{2}x-2\text{:}$ $=0$ при $x=4\text{;}$ $<0$ при $x<4\text{;}$ $>0$ при $x>4\text{.}$
• $\sqrt{10-x}-3\text{:}$ $=0$ при $x=1\text{;}$ $>0$ при $0<x<1\text{;}$ $<0$ при $1<x⩽10\text{.}$
• ${\log }_{2}x-1\text{:}$ $<0$ при $x<2\text{;}$ $>0$ при $x>2\text{.}$
• ${\log }_{2}x-4\text{:}$ $<0$ всегда на ОДЗ.

Знак знаменателя $({\log }_{2}x-1)({\log }_{2}x-4)\text{:}$

• $0<x<2\text{:}$ $(-)(-)=+\text{.}$
• $2<x⩽10\text{:}$ $(+)(-)=-\text{.}$

Знак числителя $({\log }_{2}x-2)(\sqrt{10-x}-3)\text{:}$

• $0<x<1\text{:}$ $(-)(+)=-\text{.}$
• $x=1\text{:}$ $0\text{.}$
• $1<x<4\text{:}$ $(-)(-)=+\text{.}$
• $x=4\text{:}$ $0\text{.}$
• $4<x⩽10\text{:}$ $(+)(-)=-\text{.}$

Знак дроби:

• $0<x<1\text{:}$ $-/+=-\text{.}$ Не подходит.
• $x=1\text{:}$ $0/+=0\text{.}$ Подходит.
• $1<x<2\text{:}$ $+/+=+\text{.}$ Подходит.
• $x=2\text{:}$ исключено.
• $2<x<4\text{:}$ $+/-=-\text{.}$ Не подходит.
• $x=4\text{:}$ $0/-=0\text{.}$ Подходит.
• $4<x⩽10\text{:}$ $-/-=+\text{.}$ Подходит.

Объединяя: $x\in [1;2)\cup [4;10]\text{.}$

Ответ: $x\in [1;2)\cup [4;10]\text{.}$