На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки K и M по одну сторону от диаметра основания AB так, что плоскости ASK и BSM наклонены к плоскости основания конуса под углами (2) и (3), причём точка M принадлежит дуге BK, не содержащей точку A. Тангенс угла наклона образующей конуса к плоскости основания равен (sqrt(30))/(4). А) Докажите, что плоскость KMS наклонена к плоскости основания конуса под углом 60^. Б) Найдите площадь треугольника SKM, если радиус основания конуса равен 2.

Обозначения. O — центр основания радиуса R, S — вершина конуса, h = SO. Опустим перпендикуляры из O на хорды AK, KM, MB — основания H_1, H, H_2 соответственно. Положим AOK = alpha, KOM = , MOB = beta. Поскольку K, M лежат по одну сторону от диаметра AB, alpha + + beta = 180^, и значит (alpha)/(2) + ()/(2) + (beta)/(2) = 90^. Двугранный угол между плоскостью ASK и основанием — это SH_1O (по теореме о трёх перпендикулярах). Аналогично для других плоскостей. Угол наклона образующей: SBO. А) tg SBO = (h)/(R) = (sqrt(30))/(4), поэтому h = (Rsqrt(30))/(4). tg SH_1O = sqrt(2), откуда OH_1 = (h)/(sqrt(2)) = (Rsqrt(15))/(4). tg SH_2O = sqrt(3), откуда OH_2 = (h)/(sqrt(3)) = (Rsqrt(10))/(4). В равнобедренном треугольнике AOK: OA = OK = R, OH_1 — высота к основанию AK, поэтому cos(alpha)/(2) = (OH_1)/(R) = (sqrt(15))/(4), sin(alpha)/(2) = sqrt(1 - (15)/(16)) = (1)/(4). Аналогично cos(beta)/(2) = (sqrt(10))/(4), sin(beta)/(2) = (sqrt(6))/(4). Тогда sin()/(2) = sin(90^ - (alpha+beta)/(2)) = cos((alpha)/(2)+(beta)/(2)) = cos(alpha)/(2)cos(beta)/(2) - sin(alpha)/(2)sin(beta)/(2) = (sqrt(15)*sqrt(10))/(16) - (sqrt(6))/(16) = (5sqrt(6) - sqrt(6))/(16) = (sqrt(6))/(4). cos()/(2) = sqrt(1 - (6)/(16)) = (sqrt(10))/(4), поэтому OH = Rcos()/(2) = (Rsqrt(10))/(4). tg SHO = (h)/(OH) = (Rsqrt(30))/(Rsqrt(10)) = sqrt(3), откуда SHO = 60^. Это и есть угол наклона плоскости KMS к основанию, что и требовалось доказать. Б) При R = 2: h = (sqrt(30))/(2), OH = (sqrt(10))/(2), KH = Rsin()/(2) = 2*(sqrt(6))/(4) = (sqrt(6))/(2), KM = 2KH = sqrt(6). SH = sqrt(h^2 + OH^2) = sqrt((30)/(4) + (10)/(4)) = sqrt(10). S_(SKM) = (1)/(2)* KM * SH = (1)/(2)*sqrt(6)*sqrt(10) = (sqrt(60))/(2) = sqrt(15). Ответ: Б) sqrt(15)

Б) $\sqrt{15}$.