Задача №17182

Решите неравенство:

$${\log }_4\left(x^2-10x+25\right)-{\log }_{0,5}\frac{x+2}{x-2}⩽{\log }_2\left(\frac{x^3-6x^2-x+30}{x-2}\right).$$

Заметим, что $x^2-10x+25=(x-5{)}^2$ и $x^3-6x^2-x+30=(x-3)(x-5)(x+2)\text{.}$

ОДЗ:

• $(x-5{)}^2>0\iff x\ne 5\text{;}$
• $\frac{x+2}{x-2}>0\iff x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\text{;}$
• $\frac{(x-3)(x-5)(x+2)}{x-2}>0\text{.}$

Анализ знаков последней дроби (точки $-2,2,3,5$) даёт $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;3)\cup (5;+\infty )\text{.}$ Это и есть итоговая ОДЗ.

Используем ${\log }_4(x-5{)}^2={\log }_2|x-5|$ и ${\log }_{0,5}\frac{x+2}{x-2}=-{\log }_2\frac{x+2}{x-2}\text{.}$ Неравенство переходит в

$${\log }_2\left(|x-5|\cdot \frac{x+2}{x-2}\right)⩽{\log }_2\left((x-3)(x-5)\cdot \frac{x+2}{x-2}\right).$$

В ОДЗ $\frac{x+2}{x-2}>0\text{,}$ поэтому

$$|x-5|⩽(x-3)(x-5).$$

В ОДЗ числа $x-3$ и $x-5$ одного знака, значит $(x-3)(x-5)=|x-3||x-5|\text{.}$ Получаем

$$|x-5|⩽|x-3||x-5|\iff |x-5|\left(1-|x-3|\right)⩽0.$$

В ОДЗ $|x-5|>0$ (так как $x\ne 5$), поэтому $|x-3|⩾1\text{,}$ то есть $x⩽2$ или $x⩾4\text{.}$

Пересекаем с ОДЗ:

• $(-\infty ;-2)\text{:}$ все $x$ удовлетворяют ($x<-2<2$);
• $(2;3)\text{:}$ ни $x⩽2\text{,}$ ни $x⩾4$ не выполнено;
• $(5;+\infty )\text{:}$ все $x$ удовлетворяют ($x>5>4$).

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup (5;+\infty )\text{.}$