На доске написано несколько различных натуральных чисел. Известно, что для любых двух различных чисел a и b из этого набора их сумма a + b делится на модуль их разности |a - b|. Пусть S — сумма всех написанных на доске чисел. А) Может ли на доске быть ровно 3 числа? Б) Может ли на доске быть ровно 100 чисел? В) Найдите наименьшее значение S, если на доске написано 4 числа.

Лемма. Если x < y — натуральные, то условие (y - x) (x + y) равносильно (y - x) 2x. Доказательство. x + y = 2x + (y - x), поэтому (y - x) (x + y) <=> (y - x) 2x. А) Да, можно. Пример: 1, 2, 3. Проверка: |2 - 1| = 1 3 ✓; |3 - 1| = 2 4 ✓; |3 - 2| = 1 5 ✓. Б) Да, можно. Конструкция. Если набор A = a_1, a_2, , a_n удовлетворяет условию, то набор B = L, L + a_1, L + a_2, , L + a_n, где L = lcm(a_1, , a_n), — также удовлетворяет условию и содержит n + 1 элементов. Проверка. Пары двух типов: - (L, L + a_i): разность a_i, сумма 2L + a_i. Условие a_i 2L + a_i равносильно a_i 2L. Так как a_i L, имеем a_i 2L. ✓ - (L + a_i, L + a_j), i != j: разность |a_i - a_j| = d, сумма 2L + a_i + a_j. Из условия для A: d (a_i + a_j). Также d 2a_i (по лемме применённой к паре (a_i, a_j) c A, причём a_i = ); и так как a_i L, то 2L = (L/a_i)* 2a_i кратно d. Значит d 2L + (a_i + a_j). ✓ Итерируя от стартового набора 1, 2, 3 (n = 3) ровно 97 раз, получаем подходящий набор из 100 чисел. Например, первый шаг даёт 6, 7, 8, 9 (проверка: |9 - 6| = 3 15 ✓, и т. д.). В) Минимум S при 4 числах. Пусть m — наименьшее число набора. По лемме, для любого a из набора с a > m: a - m 2m, то есть a - m — делитель числа 2m. Значит остальные три числа имеют вид m + d, где d 2m. - m = 1: 2m = 2, делители 1, 2. Возможные числа: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3. Получаем максимум 3 числа: 1, 2, 3. Для 4 чисел не подходит. - m = 2: 2m = 4, делители 1, 2, 4. Возможные числа: 3, 4, 6. Единственный кандидат на 4 числа: 2, 3, 4, 6. Проверка всех 6 пар: |3-2|=1 5 ✓; |4-2|=2 6 ✓; |6-2|=4 8 ✓; |4-3|=1 7 ✓; |6-3|=3 9 ✓; |6-4|=2 10 ✓. Все условия выполнены. S = 2 + 3 + 4 + 6 = 15. - m 3: сумма любых 4 различных натуральных чисел m + (m+1) + (m+2) + (m+3) = 4m + 6 18 > 15. Таким образом, минимум S = 15 достигается на наборе 2, 3, 4, 6. Ответ: А) Да Б) Да В) S = 15

А) Да; Б) Да; В) $S = 15$