Задача №17178

Ученик рассматривает дробь $\frac{a^2+b^2}{a-b}\text{,}$ где $a$ и $b$ — различные натуральные числа, причём $a>b\text{.}$

а) Может ли значение этой дроби быть равным 10?
б) Может ли значение этой дроби быть равным 4?
в) Найдите наименьшее возможное целое значение этой дроби, если дополнительно известно, что $b⩾11\text{.}$

а) Может ли значение дроби быть равным 10?

Пусть $\frac{a^2+b^2}{a-b}=10\text{.}$ Тогда $a^2+b^2=10(a-b)\text{,}$ или

$$(a-5{)}^2+(b+5{)}^2=50.$$

Для натуральных $b⩾1\text{:}$ $(b+5{)}^2⩾36\text{.}$

При $b=2\text{:}$ $(b+5{)}^2=49\text{,}$ $(a-5{)}^2=1\text{,}$ $a=4$ или $a=6\text{.}$ Условие $a>b\text{:}$ оба значения подходят.

Проверка $a=6,b=2\text{:}$

$$\frac{36+4}{6-2}=\frac{40}{4}=10.$$

Ответ: да, например при $a=6,b=2\text{.}$

б) Может ли значение быть равным 4?

Из $a^2+b^2=4(a-b)$ получаем $(a-2{)}^2+(b+2{)}^2=8\text{.}$ При $b⩾1$ имеем $(b+2{)}^2⩾9>8$ — противоречие.

Ответ: нет.

в) Наименьшее целое значение при $b⩾11\text{.}$

Пусть $k=\frac{a^2+b^2}{a-b}$ — целое, $k>0$ (так как $a>b>0$).

Из $a^2+b^2=k(a-b)$ как уравнения относительно $a\text{:}$

$$a^2-ka+(b^2+kb)=0.$$

Дискриминант:

$$D=k^2-4(b^2+kb)=k^2-4kb-4b^2.$$

Для существования действительного $a\text{:}$ $D⩾0\text{,}$ т. е. $k^2-4kb-4b^2⩾0\text{.}$ Это даёт $k⩾2b(1+\sqrt{2})$ (положительный корень).

Для $b=11\text{:}$ $k⩾22(1+\sqrt{2})\approx 53,11\text{,}$ значит $k⩾54\text{.}$ Чтобы $a$ было целым, $D$ должно быть полным квадратом.

1. $k=54,b=11\text{:}$ $D=2916-4\cdot 11\cdot 54-4\cdot 121=2916-2376-484=56\text{.}$ Не квадрат.
2. $k=55,b=11\text{:}$ $D=3025-2420-484=121=11^2\text{.}$

Тогда

$$a=\frac{k\pm \sqrt{D}}{2}=\frac{55\pm 11}{2}\in \{33,22\}.$$

Оба значения удовлетворяют $a>b=11\text{.}$

Проверка $a=22,b=11\text{:}$

$$\frac{484+121}{22-11}=\frac{605}{11}=55.$$

Для $b⩾12\text{:}$ граница $k⩾2b(1+\sqrt{2})⩾24(1+\sqrt{2})\approx 57,94$ — значения $k$ только больше 55.

Итак, наименьшее достижимое целое значение дроби при $b⩾11$ равно 55.

Ответ:

а) да (например, $a=6,b=2$)

б) нет

в) 55