Ученик рассматривает дробь (a^2 + b^2)/(a - b) , где a и b — различные натуральные числа, причём a > b . а) Может ли значение этой дроби быть равным 10? б) Может ли значение этой дроби быть равным 4? в) Найдите наименьшее возможное целое значение этой дроби, если дополнительно известно, что b 11 .

а) Может ли значение дроби быть равным 10? Пусть (a^2+b^2)/(a-b)=10 . Тогда a^2+b^2=10(a-b) , или (a-5)^2+(b+5)^2=50. Для натуральных b 1 : (b+5)^2 36 . При b=2 : (b+5)^2=49 , (a-5)^2=1 , a=4 или a=6 . Условие a>b : оба значения подходят. Проверка a=6,b=2 : (36+4)/(6-2)=(40)/(4)=10. Ответ: да, например при a=6,b=2 . б) Может ли значение быть равным 4? Из a^2+b^2=4(a-b) получаем (a-2)^2+(b+2)^2=8 . При b 1 имеем (b+2)^2 9>8 — противоречие. Ответ: нет. в) Наименьшее целое значение при b 11 . Пусть k=(a^2+b^2)/(a-b) — целое, k>0 (так как a>b>0 ). Из a^2+b^2=k(a-b) как уравнения относительно a : a^2-ka+(b^2+kb)=0. Дискриминант: D=k^2-4(b^2+kb)=k^2-4kb-4b^2. Для существования действительного a : D 0 , т. е. k^2-4kb-4b^2 0 . Это даёт k 2b(1+sqrt(2)) (положительный корень). Для b=11 : k 22(1+sqrt(2))~ 53,11 , значит k 54 . Чтобы a было целым, D должно быть полным квадратом. 1. k=54,b=11 : D=2916-4* 11* 54-4* 121=2916-2376-484=56 . Не квадрат. 2. k=55,b=11 : D=3025-2420-484=121=11^2 . Тогда a=(k+-sqrt(D))/(2)=(55+- 11)/(2)in33,22. Оба значения удовлетворяют a>b=11 . Проверка a=22,b=11 : (484+121)/(22-11)=(605)/(11)=55. Для b 12 : граница k 2b(1+sqrt(2)) 24(1+sqrt(2))~ 57,94 — значения k только больше 55. Итак, наименьшее достижимое целое значение дроби при b 11 равно 55. Ответ: а) да (например, a=6,b=2 ) б) нет в) 55

А) Да; Б) Нет; В) 55