Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
а) Решите уравнение
(2sinx+2cos(x+6π)−2)⋅log5(−sinx)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[−3π;−23π].
а) Рассмотрим уравнение
(2sinx+2cos(x+6π)−2)⋅log5(−sinx)=0.ОДЗ: −sinx>0⇔sinx<0.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Случай 1. log5(−sinx)=0:
−sinx=1⇒sinx=−1⇒x=−2π+2πk, k∈Z.ОДЗ выполнено, так как sinx=−1<0.
Случай 2. 2sinx+2cos(x+6π)−2=0.
Раскроем косинус суммы:
2sinx+2(23cosx−21sinx)=2, 2sinx+3cosx−sinx=2, sinx+3cosx=2, 21sinx+23cosx=22, sin(x+3π)=22.Отсюда:
x+3π=4π+2πk⇒x=−12π+2πk, x+3π=43π+2πk⇒x=125π+2πk.Проверим ОДЗ (sinx<0):
1. x=−12π+2πk: sin(−12π)<0 — подходит.
2. x=125π+2πk: sin125π>0 — не подходит.
Все корни уравнения:
x=−2π+2πk,x=−12π+2πk, k∈Z.б) Отберём корни на отрезке [−3π;−23π]=[−1236π;−1218π].
Серия 1: x=−2π+2πk.
При k=−1: x=−25π=−1230π — попадает в отрезок.
При k=−2: x=−29π — вне отрезка.
Серия 2: x=−12π+2πk.
При k=−1: x=−12π−2π=−1225π. Так как −1236π⩽−1225π⩽−1218π, корень подходит.
При k=−2: x=−1249π — вне отрезка.
Ответ:
а) x=−2π+2πk, x=−12π+2πk, k∈Z.
б) −25π; −1225π.