а) Решите уравнение (2sin x + 2cos(x + (pi)/(6)) - sqrt(2)) * _5(-sin x) = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi;-(3pi)/(2)] .

а) Рассмотрим уравнение (2sin x + 2cos(x + (pi)/(6)) - sqrt(2)) * _5(-sin x) = 0. ОДЗ: -sin x > 0 <=> sin x < 0 . Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Случай 1. _5(-sin x) = 0 : -sin x = 1 => sin x = -1 => x = -(pi)/(2) + 2pi k, k in Z. ОДЗ выполнено, так как sin x = -1 < 0 . Случай 2. 2sin x + 2cos(x + (pi)/(6)) - sqrt(2) = 0 . Раскроем косинус суммы: 2sin x + 2((sqrt(3))/(2)cos x - (1)/(2)sin x) = sqrt(2), 2sin x + sqrt(3)cos x - sin x = sqrt(2), sin x + sqrt(3)cos x = sqrt(2), (1)/(2)sin x + (sqrt(3))/(2)cos x = (sqrt(2))/(2), sin(x + (pi)/(3)) = (sqrt(2))/(2). Отсюда: x + (pi)/(3) = (pi)/(4) + 2pi k => x = -(pi)/(12) + 2pi k, x + (pi)/(3) = (3pi)/(4) + 2pi k => x = (5pi)/(12) + 2pi k. Проверим ОДЗ ( sin x < 0 ): 1. x = -(pi)/(12) + 2pi k : sin(-(pi)/(12)) < 0 — подходит. 2. x = (5pi)/(12) + 2pi k : sin(5pi)/(12) > 0 — не подходит. Все корни уравнения: x = -(pi)/(2) + 2pi k, x = -(pi)/(12) + 2pi k, k in Z. б) Отберём корни на отрезке [-3pi;-(3pi)/(2)] = [-(36pi)/(12);-(18pi)/(12)] . Серия 1: x = -(pi)/(2) + 2pi k . При k = -1 : x = -(5pi)/(2) = -(30pi)/(12) — попадает в отрезок. При k = -2 : x = -(9pi)/(2) — вне отрезка. Серия 2: x = -(pi)/(12) + 2pi k . При k = -1 : x = -(pi)/(12) - 2pi = -(25pi)/(12) . Так как -(36pi)/(12) -(25pi)/(12) -(18pi)/(12) , корень подходит. При k = -2 : x = -(49pi)/(12) — вне отрезка. Ответ: а) x = -(pi)/(2) + 2pi k , x = -(pi)/(12) + 2pi k , k in Z . б) -(5pi)/(2); -(25pi)/(12) .

x = -pi/2 + 2pi k, x = -pi/12 + 2pi k; на отрезке: -5pi/2 и -25pi/12