Задача №17176

По рисунку: гипербола $f(x)=\frac{k}{x}$ имеет ветви во II и IV четвертях, значит $k<0\text{.}$ Точка $A$ — правое нижнее пересечение (на ветви IV четверти), точка $B$ — левое верхнее (на ветви II четверти).

Читаем по графику ключевые точки. Удобно зафиксировать значения:

1. Гипербола проходит через точку $(4;-3)\text{,}$ значит $k=4\cdot (-3)=-12\text{.}$
2. Прямая $g(x)=ax+b$ пересекает ось $Ox$ в точке $(3;0)$ и проходит через $(4;-3)\text{,}$ что даёт $a=\frac{-3-0}{4-3}=-3$ и $b=-a\cdot 3=9\text{.}$

Итак, $f(x)=\frac{-12}{x}\text{,}$ $g(x)=-3x+9\text{.}$

Найдём точки пересечения. Приравниваем:

$$\frac{-12}{x}=-3x+9|\cdot x.$$ $$-12=-3x^2+9x.$$ $$3x^2-9x-12=0⟺x^2-3x-4=0.$$ $$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}\Rightarrow x_A=4,x_B=-1.$$

Ордината точки $B\text{:}$

$$y_B=g(-1)=-3\cdot (-1)+9=12.$$

Проверка: $y_B=\frac{-12}{-1}=12\text{.}$

Полезный факт (формулы Виета). Для гиперболы $y=\frac{k}{x}$ и прямой $y=ax+b$ сумма ординат точек пересечения равна $b\text{,}$ а их произведение равно $-ak\text{.}$ Здесь $y_A+y_B=-3+12=9=b\text{.}$

Ответ: $12\text{.}$