Задача №17175

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\left(x^2|x|+a^2|x|-4a|x|-a{x}^2-a^3+5a^2+x^2-4a\right)\cdot \sqrt{4-x^2}=0$$

имеет 5 или 6 различных корней.

Рассмотрим уравнение

$$\left(x^2|x|+a^2|x|-4a|x|-a{x}^2-a^3+5a^2+x^2-4a\right)\cdot \sqrt{4-x^2}=0.$$

ОДЗ: $|x|⩽2\text{.}$

Случай 1. $\sqrt{4-x^2}=0\Rightarrow x=\pm 2$ (всегда 2 корня).

Случай 2. $|x|<2$ и многочлен $P(x)=0\text{,}$ где

$$P(x)=|x|(x^2+a^2-4a)-a{x}^2-a^3+5a^2+x^2-4a.$$

Группировка. Заметим:

$$-a{x}^2+x^2-a^3+5a^2-4a=x^2(1-a)-a(a^2-5a+4)=x^2(1-a)-a(a-1)(a-4)=(1-a)(x^2+a(a-4))=(1-a)(x^2+a^2-4a).$$

Значит:

$$P(x)=(x^2+a^2-4a)\cdot (|x|+1-a).$$

Корни $P(x)=0\text{:}$

1. (A) $x^2=4a-a^2=a(4-a)\text{.}$ Нужно $a(4-a)⩾0\iff a\in [0;4]\text{.}$ Корни $x=\pm \sqrt{a(4-a)}\text{.}$
2. (B) $|x|=a-1\text{.}$ Нужно $a⩾1\text{.}$ Корни $x=\pm (a-1)\text{.}$

Условие $|x|<2\text{:}$

1. (A): $a(4-a)<4\iff (a-2{)}^2>0\iff a\ne 2\text{.}$ При $a=2$ корни $x=\pm 2$ совпадают с корнями случая 1.
2. (B): $a-1<2\iff a<3\text{.}$ При $a=3$ корни $x=\pm 2$ совпадают с корнями случая 1.

Совпадение (A) и (B): $\sqrt{a(4-a)}=a-1$ (при $a>1$):

$$a(4-a)=(a-1{)}^2\Rightarrow 2a^2-6a+1=0\Rightarrow a=\frac{3\pm \sqrt{7}}{2}.$$

Для $a>1$ подходит $a=\frac{3+\sqrt{7}}{2}\approx 2,823$ — в этом случае корни (A) и (B) объединяются.

Подсчёт корней по значениям $a\text{:}$

5 или 6 корней: $a=1$ (5 корней) или $a\in (1;3)\setminus \left\{2;\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right\}$ (6 корней).

Объединяя:

$$a\in [1;2)\cup \left(2;\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{7}}{2};3\right).$$

Ответ:

$a\in [1;2)\cup \left(2;\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{7}}{2};3\right)\text{.}$