Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение (x^2|x| + a^2|x| - 4a|x| - ax^2 - a^3 + 5a^2 + x^2 - 4a) * sqrt(4 - x^2) = 0 имеет 5 или 6 различных корней.

Рассмотрим уравнение (x^2|x| + a^2|x| - 4a|x| - ax^2 - a^3 + 5a^2 + x^2 - 4a) * sqrt(4 - x^2) = 0. ОДЗ: |x| 2 . Случай 1. sqrt(4 - x^2) = 0 => x = +- 2 (всегда 2 корня). Случай 2. |x| < 2 и многочлен P(x) = 0 , где P(x) = |x|(x^2 + a^2 - 4a) - ax^2 - a^3 + 5a^2 + x^2 - 4a. Группировка. Заметим: -ax^2 + x^2 - a^3 + 5a^2 - 4a = x^2(1-a) - a(a^2 - 5a + 4) = x^2(1-a) - a(a-1)(a-4) = (1-a)(x^2 + a(a-4)) = (1-a)(x^2 + a^2 - 4a). Значит: P(x) = (x^2 + a^2 - 4a) * (|x| + 1 - a). Корни P(x) = 0 : 1. (A) x^2 = 4a - a^2 = a(4-a) . Нужно a(4-a) 0 <=> a in [0; 4] . Корни x = +-sqrt(a(4-a)) . 2. (B) |x| = a - 1 . Нужно a 1 . Корни x = +-(a-1) . Условие |x| < 2 : 1. (A): a(4-a) < 4 <=> (a-2)^2 > 0 <=> a != 2 . При a = 2 корни x = +- 2 совпадают с корнями случая 1. 2. (B): a - 1 < 2 <=> a < 3 . При a = 3 корни x = +- 2 совпадают с корнями случая 1. Совпадение (A) и (B): sqrt(a(4-a)) = a - 1 (при a > 1 ): a(4-a) = (a-1)^2 => 2a^2 - 6a + 1 = 0 => a = (3 +- sqrt(7))/(2). Для a > 1 подходит a = (3 + sqrt(7))/(2) ~ 2,823 — в этом случае корни (A) и (B) объединяются. Подсчёт корней по значениям a : | Значение a | Корни (A) | Корни (B) | Совпадения с +- 2 | Всего различных | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | a < 0 | — | — | — | 2 | | a = 0 | x = 0 | — | — | 3 | | 0 < a < 1 | 2 корня | — | — | 4 | | a = 1 | +-sqrt(3) | x = 0 | — | 5 | | 1 < a < 2 | 2 корня | 2 корня (разл.) | — | 6 | | a = 2 | +- 2 | +- 1 | (A) совп. с +- 2 | 4 | | 2 < a < (3+sqrt(7))/(2) | 2 корня | 2 корня (разл.) | — | 6 | | a = (3+sqrt(7))/(2) | 2 корня | === (A) | — | 4 | | (3+sqrt(7))/(2) < a < 3 | 2 корня | 2 корня (разл.) | — | 6 | | a = 3 | +-sqrt(3) | +- 2 | (B) совп. | 4 | | 3 < a < 4 | 2 корня | — | — | 4 | | a = 4 | x = 0 | — | — | 3 | | a > 4 | — | — | — | 2 | 5 или 6 корней: a = 1 (5 корней) или a in (1; 3) 2; (3 + sqrt(7))/(2) (6 корней). Объединяя: a in [1; 2) U (2; (3 + sqrt(7))/(2)) U ((3 + sqrt(7))/(2); 3). Ответ: a in [1; 2) U (2; (3 + sqrt(7))/(2)) U ((3 + sqrt(7))/(2); 3) .

a in [1;2) U (2; (3+sqrt(7))/2) U ((3+sqrt(7))/2; 3)