Задача №17173

Сфера касается всех ребер куба. Диагональ этого куба равна $2\sqrt{3}\text{.}$ Найдите квадрат радиуса данной сферы.

По рисунку в PDF: диагональ куба равна $2\sqrt{3}\text{.}$

Пусть ребро куба равно $a\text{.}$ Диагональ куба связана с ребром формулой:

Из условия $a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\text{,}$ значит $a=2\text{.}$

Сфера, касающаяся всех 12 рёбер куба, имеет центр, совпадающий с центром куба, а радиус равен расстоянию от центра куба до любого ребра. Возьмём куб с вершинами от $(0,0,0)$ до $(a,a,a)$ и центром $O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)\text{.}$ Рассмотрим ребро от $(0,0,0)$ до $(a,0,0)\text{.}$ Ближайшая точка этого ребра к $O$ — это $\left(\frac{a}{2},0,0\right)\text{,}$ и расстояние:

Подставим $a=2\text{:}$

Ответ: $2\text{.}$