Задача №17172

Натуральное число $n$ будем называть особым, если все его цифры нечётные.

а) Сколько особых чисел $n<100\text{?}$

б) Бесконечная возрастающая последовательность $\{a_n\}\text{,}$ $n⩾1\text{,}$ состоит из всех особых чисел. Чему равно $a_{100}\text{?}$

в) Какие квадраты натуральных чисел будут особыми?

а) Каждая цифра особого числа лежит в множестве $\{1;3;5;7;9\}$ (5 вариантов).

Однозначных особых чисел: $5\text{.}$

Двузначных особых чисел: $5\cdot 5=25\text{.}$

Всего особых $n<100\text{:}$

$$5+25=30.$$

б) Считаем особые числа в порядке возрастания.

Среди $n<100\text{:}$ $30$ особых чисел ($a_1,\dots ,a_{30}$).

Трёхзначные особые с первой цифрой $1\text{:}$ $5\cdot 5=25$ ($a_{31},\dots ,a_{55}$).

С первой цифрой $3\text{:}$ $25$ ($a_{56},\dots ,a_{80}$).

С первой цифрой $5\text{:}$ $25$ ($a_{81},\dots ,a_{105}$).

Тогда $a_{100}$ — это $20$-е особое число с первой цифрой $5\text{.}$ В возрастающем порядке такие числа:

1. $a_{81},\dots ,a_{85}\text{:}$ $511\text{,}$ $513\text{,}$ $515\text{,}$ $517\text{,}$ $519\text{;}$
2. $a_{86},\dots ,a_{90}\text{:}$ $531\text{,}$ $533\text{,}$ $535\text{,}$ $537\text{,}$ $539\text{;}$
3. $a_{91},\dots ,a_{95}\text{:}$ $551\text{,}$ $553\text{,}$ $555\text{,}$ $557\text{,}$ $559\text{;}$
4. $a_{96},\dots ,a_{100}\text{:}$ $571\text{,}$ $573\text{,}$ $575\text{,}$ $577\text{,}$ $579\text{.}$

Значит, $a_{100}=579\text{.}$

в) Квадрат особого числа должен иметь все нечётные цифры; в частности, последняя цифра нечётна, поэтому само число нечётно.

Среди однозначных нечётных $n\text{:}$ $1^2=1\text{,}$ $3^2=9\text{,}$ $5^2=25\text{,}$ $7^2=49\text{,}$ $9^2=81\text{.}$ Особые квадраты: $1$ и $9$ (остальные содержат чётную цифру).

Пусть $n⩾10$ нечётное, $n=10a+b\text{,}$ где $a⩾1\text{,}$ $b\in \{1;3;5;7;9\}\text{.}$ Тогда

$$n^2=100a^2+20ab+b^2.$$

Последние две цифры $n^2$ совпадают с последними двумя цифрами числа $20ab+b^2\text{.}$

Цифра единиц $20ab$ равна $0\text{,}$ цифра десятков — последняя цифра числа $2ab$ (чётная).

$b^2\in \{1;9;25;49;81\}\text{:}$ цифры единиц $\{1;9;5;9;1\}$ нечётные, цифры десятков $\{0;0;2;4;8\}$ чётные.

При сложении $20ab+b^2$ единицы дают $0+b^2\text{,}$ переноса в десятки нет (единицы $<10$). Цифра десятков суммы есть сумма (по модулю $10$) двух чётных чисел, значит, чётная.

Получаем: предпоследняя цифра $n^2$ при $n⩾10$ — чётная, поэтому $n^2$ не особое.

Итого: особыми являются только квадраты $1^2=1$ и $3^2=9\text{.}$

Ответ:

а) $30$

б) $579$

в) $1$ и $9$