Натуральное число n будем называть особым, если все его цифры нечётные. а) Сколько особых чисел n < 100 ? б) Бесконечная возрастающая последовательность a_n , n 1 , состоит из всех особых чисел. Чему равно a_(100) ? в) Какие квадраты натуральных чисел будут особыми?

а) Каждая цифра особого числа лежит в множестве 1;3;5;7;9 (5 вариантов). Однозначных особых чисел: 5 . Двузначных особых чисел: 5 * 5 = 25 . Всего особых n < 100 : 5 + 25 = 30. б) Считаем особые числа в порядке возрастания. Среди n < 100 : 30 особых чисел ( a_1, , a_(30) ). Трёхзначные особые с первой цифрой 1 : 5 * 5 = 25 ( a_(31), , a_(55) ). С первой цифрой 3 : 25 ( a_(56), , a_(80) ). С первой цифрой 5 : 25 ( a_(81), , a_(105) ). Тогда a_(100) — это 20 -е особое число с первой цифрой 5 . В возрастающем порядке такие числа: 1. a_(81), , a_(85) : 511 , 513 , 515 , 517 , 519 ; 2. a_(86), , a_(90) : 531 , 533 , 535 , 537 , 539 ; 3. a_(91), , a_(95) : 551 , 553 , 555 , 557 , 559 ; 4. a_(96), , a_(100) : 571 , 573 , 575 , 577 , 579 . Значит, a_(100) = 579 . в) Квадрат особого числа должен иметь все нечётные цифры; в частности, последняя цифра нечётна, поэтому само число нечётно. Среди однозначных нечётных n : 1^2 = 1 , 3^2 = 9 , 5^2 = 25 , 7^2 = 49 , 9^2 = 81 . Особые квадраты: 1 и 9 (остальные содержат чётную цифру). Пусть n 10 нечётное, n = 10a + b , где a 1 , b in 1;3;5;7;9 . Тогда n^2 = 100a^2 + 20ab + b^2. Последние две цифры n^2 совпадают с последними двумя цифрами числа 20ab + b^2 . Цифра единиц 20ab равна 0 , цифра десятков — последняя цифра числа 2ab (чётная). b^2 in 1;9;25;49;81 : цифры единиц 1;9;5;9;1 нечётные, цифры десятков 0;0;2;4;8 чётные. При сложении 20ab + b^2 единицы дают 0 + b^2 , переноса в десятки нет (единицы < 10 ). Цифра десятков суммы есть сумма (по модулю 10 ) двух чётных чисел, значит, чётная. Получаем: предпоследняя цифра n^2 при n 10 — чётная, поэтому n^2 не особое. Итого: особыми являются только квадраты 1^2 = 1 и 3^2 = 9 . Ответ: а) 30 б) 579 в) 1 и 9

А) $30$; Б) $579$; В) $1$ и $9$.