Задача №17169

Температура остывающего чайника (в градусах Цельсия) описывается законом

$$T(t)=T_C+(T_0-T_C)\cdot 2^{-t/\tau },$$

где $T_C=20^{\circ }C\text{,}$ $T_0=100^{\circ }C\text{,}$ $\tau =5$ мин., $t$ — время в минутах. Сколько минут чайник будет остывать от $60^{\circ }C$ до $30^{\circ }C\text{?}$

Закон остывания:

$$T(t)=T_C+(T_0-T_C)\cdot 2^{-t/\tau },$$

где $T_C=20^{\circ }\text{,}$ $T_0=100^{\circ }\text{,}$ $\tau =5$ мин.

$$T(t)=20+80\cdot 2^{-t/5}.$$

Найдём момент $t_1\text{,}$ когда $T=60^{\circ }\text{:}$

$$60=20+80\cdot 2^{-t_1/5}\Rightarrow 80\cdot 2^{-t_1/5}=40\Rightarrow 2^{-t_1/5}=\frac{1}{2}.$$ $$-\frac{t_1}{5}=-1\Rightarrow t_1=5.$$

Найдём момент $t_2\text{,}$ когда $T=30^{\circ }\text{:}$

$$30=20+80\cdot 2^{-t_2/5}\Rightarrow 80\cdot 2^{-t_2/5}=10\Rightarrow 2^{-t_2/5}=\frac{1}{8}.$$ $$-\frac{t_2}{5}=-3\Rightarrow t_2=15.$$

Время остывания от $60^{\circ }$ до $30^{\circ }\text{:}$

$$t_2-t_1=15-5=10\text{ мин}.$$

Ответ: 10.