Задача №17168

а) Решите уравнение
$\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{2}\cos 3x=0\text{.}$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Решение уравнения.

Заметим, что $1+\sin 2x={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=(\sin x+\cos x{)}^2\text{.}$ Поэтому

$$\sqrt{1+\sin 2x}=|\sin x+\cos x|.$$

Уравнение принимает вид $|\sin x+\cos x|=\sqrt{2}\cos 3x\text{.}$ Так как $|\cdot |⩾0\text{,}$ необходимо $\cos 3x⩾0\text{.}$

При этом условии возведём в квадрат:

$$1+\sin 2x=2{\cos }^{2}3x=1+\cos 6x,$$

откуда $\sin 2x=\cos 6x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-6x\right)\text{.}$

Из равенства синусов получаем две серии:

1) $2x=\frac{\pi }{2}-6x+2\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi }{16}+\frac{\pi k}{4}\text{;}$

2) $2x=\pi -\frac{\pi }{2}+6x+2\pi k\Rightarrow x=-\frac{\pi }{8}-\frac{\pi k}{2}\text{.}$

Применив отбор по условию $\cos 3x⩾0$ (например, на одном периоде $[0;2\pi )$), получаем корни

$$x\equiv \frac{\pi }{16},\frac{9\pi }{16},\frac{13\pi }{16},\frac{21\pi }{16},\frac{11\pi }{8},\frac{15\pi }{8}(\mathrm{mod}2\pi ).$$

б) Отбор корней на отрезке $\left[\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

Проверим каждое значение:

1) $\frac{21\pi }{16}\text{:}$ $\frac{16\pi }{16}=\pi <\frac{21\pi }{16}<\frac{24\pi }{16}=\frac{3\pi }{2}$ — принадлежит отрезку.

2) $\frac{11\pi }{8}=\frac{22\pi }{16}\text{:}$ $\pi <\frac{22\pi }{16}<\frac{3\pi }{2}$ — принадлежит отрезку.

3) Остальные корни $\frac{\pi }{16},\frac{9\pi }{16},\frac{13\pi }{16},\frac{15\pi }{8}$ не лежат в указанном отрезке.

Ответ:

б) $\frac{21\pi }{16};\frac{11\pi }{8}\text{.}$