а) Решите уравнение sqrt(1 + sin 2x) - sqrt(2)cos 3x = 0 . б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [pi; (3pi)/(2)] .

а) Решение уравнения. Заметим, что 1 + sin 2x = sin^2 x + 2sin xcos x + cos^2 x = (sin x + cos x)^2 . Поэтому sqrt(1 + sin 2x) = |sin x + cos x|. Уравнение принимает вид |sin x + cos x| = sqrt(2)cos 3x . Так как |*| 0 , необходимо cos 3x 0 . При этом условии возведём в квадрат: 1 + sin 2x = 2cos^2 3x = 1 + cos 6x, откуда sin 2x = cos 6x = sin((pi)/(2) - 6x) . Из равенства синусов получаем две серии: 1) 2x = (pi)/(2) - 6x + 2pi k => x = (pi)/(16) + (pi k)/(4) ; 2) 2x = pi - (pi)/(2) + 6x + 2pi k => x = -(pi)/(8) - (pi k)/(2) . Применив отбор по условию cos 3x 0 (например, на одном периоде [0; 2pi) ), получаем корни x === (pi)/(16), (9pi)/(16), (13pi)/(16), (21pi)/(16), (11pi)/(8), (15pi)/(8) +-od2pi. б) Отбор корней на отрезке [pi; (3pi)/(2)] . Проверим каждое значение: 1) (21pi)/(16) : (16pi)/(16) = pi < (21pi)/(16) < (24pi)/(16) = (3pi)/(2) — принадлежит отрезку. 2) (11pi)/(8) = (22pi)/(16) : pi < (22pi)/(16) < (3pi)/(2) — принадлежит отрезку. 3) Остальные корни (pi)/(16), (9pi)/(16), (13pi)/(16), (15pi)/(8) не лежат в указанном отрезке. Ответ: б) (21pi)/(16); (11pi)/(8) .

А) $x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{\pi k}{4}$ и $x = -\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$, при условии $\cos 3x \geq 0$. Б) $\dfrac{21\pi}{16}$, $\dfrac{11\pi}{8}$.