Задача №17166

Найдите все положительные значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\ln (1-{\sin }^2(\pi x))\cdot \sqrt{a^4-4a^2-x^2+4x}=0$$

имеет ровно три различных корня.

Тождество: $1-{\sin }^2(\pi x)={\cos }^2(\pi x)\text{.}$ ОДЗ для логарифма: ${\cos }^2(\pi x)>0\text{,}$ т. е. $\cos (\pi x)\ne 0\text{,}$ $x\notin \mathbb{Z}+\frac{1}{2}\text{.}$

Подкоренное выражение:

$$a^4-4a^2-x^2+4x=(a^2-2{)}^2-(x-2{)}^2.$$

Проверка: $(a^2-2{)}^2=a^4-4a^2+4\text{,}$ $(x-2{)}^2=x^2-4x+4\text{,}$ разность:

$$a^4-4a^2+4-x^2+4x-4=a^4-4a^2-x^2+4x.$$

Пусть $t=|a^2-2|\text{.}$ Тогда подкоренное $⩾0\iff (x-2{)}^2⩽t^2\iff x\in [2-t;2+t]\text{.}$

Произведение равно нулю в двух случаях:

1. $\ln ({\cos }^2\pi x)=0\iff {\cos }^2(\pi x)=1\iff x\in \mathbb{Z}\text{,}$ при $x\in [2-t;2+t]\text{.}$
2. Подкоренное $=0\iff x=2-t$ или $x=2+t\text{,}$ при условии, что $x\notin \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$ (иначе логарифм не определён, и формальное произведение $\ln (\text{undef})\cdot 0$ не считается корнем).

Подсчёт корней $N(t)\text{:}$

1. Целые точки в отрезке $[2-t;2+t]\text{:}$ их $2\lfloor t\rfloor +1$ (когда $t$ не целое; центрированный отрезок симметричен).
2. Граничные точки $2\pm t\text{:}$

• если $t\in \mathbb{Z}\text{,}$ то они уже целые (среди подсчитанных);
• если $t\in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}\text{,}$ то $2\pm t\in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$ — логарифм не определён, корнями не являются;
• иначе дают $2$ дополнительных корня.

Итого:

$$N(t)=\{\begin{array}{ll}2t+1,& t\in {\mathbb{Z}}_{⩾0};\\ 2\lfloor t\rfloor +1,& t\in \mathbb{Z}+\frac{1}{2};\\ 2\lfloor t\rfloor +3,& \text{иначе}.\end{array}$$

Условие $N(t)=3\text{:}$

1. $t\in \mathbb{Z}\text{:}$ $2t+1=3\Rightarrow t=1\text{.}$
2. $t\in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}\text{:}$ $2\lfloor t\rfloor +1=3\Rightarrow \lfloor t\rfloor =1\Rightarrow t=\frac{3}{2}\text{.}$
3. Иначе: $2\lfloor t\rfloor +3=3\Rightarrow \lfloor t\rfloor =0\Rightarrow t\in (0;1)\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\text{.}$

Объединяя:

$$t\in (0;1]\cup \left\{\frac{3}{2}\right\}\setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}.$$

Возврат к $a>0\text{.}$ $t=|a^2-2|\text{,}$ поэтому либо $a^2=2-t$ (при $t<2$), либо $a^2=2+t\text{.}$

Для каждого допустимого $t\text{:}$

1. $t\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\text{:}$ $a^2\in \left(\frac{3}{2};2\right)\cup \left(2;\frac{5}{2}\right)\text{,}$ значит $a\in \left(\sqrt{\frac{3}{2}};\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};\sqrt{\frac{5}{2}}\right)\text{.}$
2. $t\in \left(\frac{1}{2};1\right)\text{:}$ $a^2\in \left(1;\frac{3}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{2};3\right)\text{,}$ значит $a\in \left(1;\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{5}{2}};\sqrt{3}\right)\text{.}$
3. $t=1\text{:}$ $a^2=1$ или $a^2=3\text{,}$ значит $a=1$ или $a=\sqrt{3}\text{.}$
4. $t=\frac{3}{2}\text{:}$ $a^2=\frac{1}{2}$ или $a^2=\frac{7}{2}\text{,}$ значит $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $a=\sqrt{\frac{7}{2}}\text{.}$

Объединяя:

$$a\in \left\{\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{\frac{7}{2}}\right\}\cup \left[1;\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{3}{2}};\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};\sqrt{\frac{5}{2}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{5}{2}};\sqrt{3}\right].$$

Ответ:

$$a\in \left\{\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{\frac{7}{2}}\right\}\cup \left[1;\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{3}{2}};\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};\sqrt{\frac{5}{2}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{5}{2}};\sqrt{3}\right].$$