Найдите все положительные значения параметра a , при каждом из которых уравнение ln(1 - sin^2(pi x))*sqrt(a^4 - 4a^2 - x^2 + 4x) = 0 имеет ровно три различных корня.

Тождество: 1 - sin^2(pi x) = cos^2(pi x) . ОДЗ для логарифма: cos^2(pi x) > 0 , т. е. cos(pi x) != 0 , x not in Z + (1)/(2) . Подкоренное выражение: a^4 - 4a^2 - x^2 + 4x = (a^2 - 2)^2 - (x - 2)^2. Проверка: (a^2 - 2)^2 = a^4 - 4a^2 + 4 , (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 , разность: a^4 - 4a^2 + 4 - x^2 + 4x - 4 = a^4 - 4a^2 - x^2 + 4x. Пусть t = |a^2 - 2| . Тогда подкоренное 0 <=> (x - 2)^2 t^2 <=> x in [2 - t; 2 + t] . Произведение равно нулю в двух случаях: 1. ln(cos^2 pi x) = 0 <=> cos^2(pi x) = 1 <=> x in Z , при x in [2 - t; 2 + t] . 2. Подкоренное = 0 <=> x = 2 - t или x = 2 + t , при условии, что x not in Z + (1)/(2) (иначе логарифм не определён, и формальное произведение ln(undef)* 0 не считается корнем). Подсчёт корней N(t) : 1. Целые точки в отрезке [2 - t; 2 + t] : их 2 t + 1 (когда t не целое; центрированный отрезок симметричен). 2. Граничные точки 2 +- t : - если t in Z , то они уже целые (среди подсчитанных); - если t in Z + (1)/(2) , то 2 +- t in Z + (1)/(2) — логарифм не определён, корнями не являются; - иначе дают 2 дополнительных корня. Итого: N(t) = cases 2t + 1, & t in Z_( 0); 2 t + 1, & t in Z + (1)/(2); 2 t + 3, & иначе. cases Условие N(t) = 3 : 1. t in Z : 2t + 1 = 3 => t = 1 . 2. t in Z + (1)/(2) : 2 t + 1 = 3 => t = 1 => t = (3)/(2) . 3. Иначе: 2 t + 3 = 3 => t = 0 => t in (0; 1)(1)/(2) . Объединяя: t in (0; 1] U (3)/(2) (1)/(2). Возврат к a > 0 . t = |a^2 - 2| , поэтому либо a^2 = 2 - t (при t < 2 ), либо a^2 = 2 + t . Для каждого допустимого t : 1. t in (0; (1)/(2)) : a^2 in ((3)/(2); 2) U (2; (5)/(2)) , значит a in (sqrt((3)/(2)); sqrt(2)) U (sqrt(2); sqrt((5)/(2))) . 2. t in ((1)/(2); 1) : a^2 in (1; (3)/(2)) U ((5)/(2); 3) , значит a in (1; sqrt((3)/(2))) U (sqrt((5)/(2)); sqrt(3)) . 3. t = 1 : a^2 = 1 или a^2 = 3 , значит a = 1 или a = sqrt(3) . 4. t = (3)/(2) : a^2 = (1)/(2) или a^2 = (7)/(2) , значит a = (1)/(sqrt(2)) или a = sqrt((7)/(2)) . Объединяя: a in (1)/(sqrt(2)); sqrt((7)/(2)) U [1; sqrt((3)/(2))) U (sqrt((3)/(2)); sqrt(2)) U (sqrt(2); sqrt((5)/(2))) U (sqrt((5)/(2)); sqrt(3)]. Ответ: a in (1)/(sqrt(2)); sqrt((7)/(2)) U [1; sqrt((3)/(2))) U (sqrt((3)/(2)); sqrt(2)) U (sqrt(2); sqrt((5)/(2))) U (sqrt((5)/(2)); sqrt(3)].

$a \in \left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}};\ \sqrt{\dfrac{7}{2}}\right\} \cup \left[1;\ \sqrt{\dfrac{3}{2}}\right) \cup \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}};\ \sqrt{2}\right) \cup \left(\sqrt{2};\ \sqrt{\dfrac{5}{2}}\right) \cup \left(\sqrt{\dfrac{5}{2}};\ \sqrt{3}\right]$