Тройку разных натуральных чисел будем называть правильной, если среднее арифметическое любых двух из этих чисел будет натуральным числом. Возьмём любую правильную тройку и построим последовательность троек таким образом, что каждая следующая состоит из средних арифметических пар чисел последней построенной тройки. а) Построенная последовательность закончилась неправильной тройкой. Будут ли в этой тройке все числа разными? б) Может ли получиться бесконечная последовательность троек? в) Группа школьников на подготовительных курсах по математике сдавала репетиционный ЕГЭ. Все они превысили минимальный балл для поступления в вуз. Оказалось, что среди полученных баллов наименьший, средний и наибольший образуют правильную тройку, причём получающаяся из неё последовательность троек содержит баллы всех школьников группы и имеет максимальную возможную сумму баллов. Сколько школьников было в этой группе, и какой получился в результате средний балл?

Правильная тройка (a, b, c) — три различных натуральных числа, у которых все парные суммы чётны (тогда (a+b)/(2), (a+c)/(2), (b+c)/(2) in N ). Это значит, что a, b, c имеют одинаковую чётность. Свойство шага. Из (a, b, c) получаем (m, n, k) = ( (a+b)/(2),(a+c)/(2),(b+c)/(2) ). а) Будут ли все числа в финальной (неправильной) тройке различны? Если m = n , то (a+b)/(2) = (a+c)/(2) => b = c , что противоречит правильности предыдущей тройки (a, b, c) (там b != c ). Аналогично m != k и n != k . Значит, в любой следующей за правильной тройке все три числа различны. Это касается и неправильной, на которой обрывается последовательность. Ответ а): Да, все три числа различны. б) Может ли последовательность быть бесконечной? Сумма тройки сохраняется: m + n + k = a + b + c = S . Пусть D = - — размах тройки. Для упорядоченной правильной тройки a < b < c имеем b - a 2 , c - b 2 (одинаковая чётность). Упорядочив (m, n, k) , получаем m < n < k при a < b < c (где m = (a+b)/(2) , n = (a+c)/(2) , k = (b+c)/(2) ), и k - m = (c - a)/(2) = (D)/(2). То есть размах уменьшается вдвое за каждый шаг. Поскольку для правильной тройки D 2 , через конечное число шагов получим D < 2 , и парные суммы перестанут все быть чётными. Ответ б): Нет, последовательность всегда конечна. в) Группа школьников. Пусть наименьший, средний и наибольший баллы — правильная тройка (L, M, H) . Эта тройка порождает последовательность, содержащую баллы всех школьников; сумма баллов максимальна. Пусть исходная тройка симметрична: (X - d,X,X + d) . Шаг даёт ( X - (d)/(2),X,X + (d)/(2) ) — снова симметричная, центр X сохраняется, d делится пополам. Это работает, пока d чётное; при d = 1 тройка (X - 1, X, X + 1) неправильная (парные суммы нечётны). Пусть d = 2^k . Тогда последовательность имеет k + 1 троек, в объединении X U X +- 2^j : j = 0, 1, , k — всего 2(k+1) + 1 = 2k + 3 различных значений. Их сумма (2k + 3) * X . Ограничения: минимальный балл для поступления в вуз по математике (проф.) равен 39 , поэтому L = X - 2^k 40 , т. е. X 40 + 2^k . Также H = X + 2^k 100 , т. е. X 100 - 2^k . Тогда 40 + 2^k X 100 - 2^k, что возможно при 2^k 30 , т. е. k 4 . При k = 4 ( d = 16 ): X in [56;84] . Сумма 11X максимальна при X = 84 : L = 68, M = 84, H = 100. Цепочка: (68, 84, 100) (76, 84, 92) (80, 84, 88) (82, 84, 86) (83, 84, 85) — пять троек; последняя неправильна. Объединение: 68, 76, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 92, 100 — 11 чисел. Проверка: все баллы > 39 ( 68 > 39 ); (68, 84, 100) — правильная (все чётные, парные суммы 152, 168, 184 — все чётные); цепочка содержит ровно 11 баллов всех школьников; среднее арифметическое (11 * 84)/(11) = 84, и эта же величина — медиана. Сумма баллов: 11 * 84 = 924 . Ответ в): в группе было 11 школьников, средний балл получился 84 .

А) Да; Б) Нет; В) 11 школьников, средний балл 84