Задача №17159

Тройку разных натуральных чисел будем называть правильной, если среднее арифметическое любых двух из этих чисел будет натуральным числом. Возьмём любую правильную тройку и построим последовательность троек таким образом, что каждая следующая состоит из средних арифметических пар чисел последней построенной тройки.

а) Построенная последовательность закончилась неправильной тройкой. Будут ли в этой тройке все числа разными?
б) Может ли получиться бесконечная последовательность троек?
в) Группа школьников на подготовительных курсах по математике сдавала репетиционный ЕГЭ. Все они превысили минимальный балл для поступления в вуз. Оказалось, что среди полученных баллов наименьший, средний и наибольший образуют правильную тройку, причём получающаяся из неё последовательность троек содержит баллы всех школьников группы и имеет максимальную возможную сумму баллов. Сколько школьников было в этой группе, и какой получился в результате средний балл?

Правильная тройка $(a,b,c)$ — три различных натуральных числа, у которых все парные суммы чётны (тогда $\frac{a+b}{2},\frac{a+c}{2},\frac{b+c}{2}\in \mathbb{N}$). Это значит, что $a,b,c$ имеют одинаковую чётность.

Свойство шага. Из $(a,b,c)$ получаем

$$(m,n,k)=\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+c}{2},\frac{b+c}{2}\right).$$

а) Будут ли все числа в финальной (неправильной) тройке различны?

Если $m=n\text{,}$ то $\frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{2}\Rightarrow b=c\text{,}$ что противоречит правильности предыдущей тройки $(a,b,c)$ (там $b\ne c$). Аналогично $m\ne k$ и $n\ne k\text{.}$ Значит, в любой следующей за правильной тройке все три числа различны. Это касается и неправильной, на которой обрывается последовательность.

Ответ а): Да, все три числа различны.

б) Может ли последовательность быть бесконечной?

Сумма тройки сохраняется: $m+n+k=a+b+c=S\text{.}$

Пусть $D=\max -\min$ — размах тройки. Для упорядоченной правильной тройки $a<b<c$ имеем $b-a⩾2\text{,}$ $c-b⩾2$ (одинаковая чётность). Упорядочив $(m,n,k)\text{,}$ получаем $m<n<k$ при $a<b<c$ (где $m=\frac{a+b}{2}\text{,}$ $n=\frac{a+c}{2}\text{,}$ $k=\frac{b+c}{2}$), и

$$k-m=\frac{c-a}{2}=\frac{D}{2}.$$

То есть размах уменьшается вдвое за каждый шаг. Поскольку для правильной тройки $D⩾2\text{,}$ через конечное число шагов получим $D<2\text{,}$ и парные суммы перестанут все быть чётными.

Ответ б): Нет, последовательность всегда конечна.

в) Группа школьников.

Пусть наименьший, средний и наибольший баллы — правильная тройка $(L,M,H)\text{.}$ Эта тройка порождает последовательность, содержащую баллы всех школьников; сумма баллов максимальна.

Пусть исходная тройка симметрична: $(X-d,X,X+d)\text{.}$ Шаг даёт $\left(X-\frac{d}{2},X,X+\frac{d}{2}\right)$ — снова симметричная, центр $X$ сохраняется, $d$ делится пополам. Это работает, пока $d$ чётное; при $d=1$ тройка $(X-1,X,X+1)$ неправильная (парные суммы нечётны).

Пусть $d=2^k\text{.}$ Тогда последовательность имеет $k+1$ троек, в объединении $\{X\}\cup \{X\pm 2^j:j=0,1,\dots ,k\}$ — всего $2(k+1)+1=2k+3$ различных значений. Их сумма $(2k+3)\cdot X\text{.}$

Ограничения: минимальный балл для поступления в вуз по математике (проф.) равен $39\text{,}$ поэтому $L=X-2^k⩾40\text{,}$ т. е. $X⩾40+2^k\text{.}$ Также $H=X+2^k⩽100\text{,}$ т. е. $X⩽100-2^k\text{.}$ Тогда

$$40+2^k⩽X⩽100-2^k,$$

что возможно при $2^k⩽30\text{,}$ т. е. $k⩽4\text{.}$

При $k=4$ ($d=16$): $X\in [56;84]\text{.}$ Сумма $11X$ максимальна при $X=84\text{:}$

$$L=68,M=84,H=100.$$

Цепочка:

$$(68,84,100)\to (76,84,92)\to (80,84,88)\to (82,84,86)\to (83,84,85)$$

— пять троек; последняя неправильна.

Объединение: $\{68,76,80,82,83,84,85,86,88,92,100\}$ — 11 чисел.

Проверка: все баллы $>39$ ($68>39$); $(68,84,100)$ — правильная (все чётные, парные суммы $152,168,184$ — все чётные); цепочка содержит ровно 11 баллов всех школьников; среднее арифметическое

$$\frac{11\cdot 84}{11}=84,$$

и эта же величина — медиана.

Сумма баллов: $11\cdot 84=924\text{.}$

Ответ в): в группе было $11$ школьников, средний балл получился $84\text{.}$