Задача №17157

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6\text{,}$ а высота пирамиды $SO$ равна $6\text{.}$ На боковом ребре $SC$ отмечена точка $K$ так, что $SK:KC=1:2\text{.}$ Плоскость $\gamma$ проходит через точки $A$ и $K$ параллельно диагонали основания $BD\text{.}$

А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\gamma$ является четырёхугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $C\text{,}$ а основание — сечение данной пирамиды плоскостью $\gamma \text{.}$

Введём систему координат с центром в точке $O\text{.}$ Диагонали $AC$ и $BD$ направим вдоль осей $Ox$ и $Oy$ соответственно:

$A=(3\sqrt{2};0;0)\text{,}$ $C=(-3\sqrt{2};0;0)\text{,}$ $B=(0;3\sqrt{2};0)\text{,}$ $D=(0;-3\sqrt{2};0)\text{,}$ $S=(0;0;6)\text{.}$

Проверка: $|AB|=\sqrt{18+18}=6\text{.}$

Точка $K$ делит $SC$ в отношении $1:2$ от $S\text{:}$

$$K=S+\frac{1}{3}(C-S)=(-\sqrt{2};0;4).$$

Плоскость $\gamma$ содержит $A\text{,}$ $K$ и направление $\overrightarrow{BD}=(0;1;0)\text{.}$ Нормаль к плоскости:

$$\vec{n}=\overrightarrow{AK}\times \overrightarrow{BD}=(-4\sqrt{2};0;4)\times (0;1;0)=(-4;0;-4\sqrt{2}),$$

что пропорционально $(1;0;\sqrt{2})\text{.}$ Уравнение плоскости $\gamma \text{:}$

$$x+\sqrt{2}z-3\sqrt{2}=0.$$

Найдём сечение — пересечение $\gamma$ с рёбрами пирамиды.

Ребро $SB\text{:}$ точки вида $(0;3\sqrt{2}t;6-6t)\text{.}$ Подставляем:

$$\sqrt{2}(6-6t)=3\sqrt{2}\Rightarrow t=\frac{1}{2}.$$

Точка $M=\left(0;\frac{3\sqrt{2}}{2};3\right)\text{.}$

Ребро $SD\text{:}$ аналогично, $N=\left(0;-\frac{3\sqrt{2}}{2};3\right)\text{.}$

Сечение — четырёхугольник $AMKN\text{.}$

А) Перпендикулярность диагоналей.

$\overrightarrow{AK}=(-4\sqrt{2};0;4)\text{,}$ $\overrightarrow{MN}=(0;-3\sqrt{2};0)\text{.}$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{MN}=0+0+0=0.$$

Следовательно, $AK\perp MN\text{,}$ то есть диагонали четырёхугольника $AMKN$ взаимно перпендикулярны.

Б) Объём пирамиды $C$-$AMKN\text{.}$

$|AK|=\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{.}$

$|MN|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{.}$

Диагонали пересекаются в точке $(0;0;3)$ (при $t=3/4$ на $AK$ и в середине $MN$). Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями:

$$S_{AMKN}=\frac{1}{2}\cdot |AK|\cdot |MN|=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{6}.$$

Расстояние от $C=(-3\sqrt{2};0;0)$ до плоскости $x+\sqrt{2}z-3\sqrt{2}=0\text{:}$

$$d=\frac{|-3\sqrt{2}-3\sqrt{2}|}{\sqrt{1+2}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}.$$

Объём:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 6=24.$$

Ответ:

А) Диагонали $AK$ и $MN$ сечения взаимно перпендикулярны, так как $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{MN}=0\text{.}$

Б) $V=24$