В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а высота пирамиды SO равна 6. На боковом ребре SC отмечена точка K так, что SK:KC = 1:2. Плоскость gamma проходит через точки A и K параллельно диагонали основания BD. А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью gamma является четырёхугольником, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка C, а основание — сечение данной пирамиды плоскостью gamma.

Введём систему координат с центром в точке O. Диагонали AC и BD направим вдоль осей Ox и Oy соответственно: A = (3sqrt(2);0;0), C = (-3sqrt(2);0;0), B = (0;3sqrt(2);0), D = (0;-3sqrt(2);0), S = (0;0;6). Проверка: |AB| = sqrt(18 + 18) = 6. Точка K делит SC в отношении 1:2 от S: K = S + (1)/(3)(C - S) = (-sqrt(2);0;4). Плоскость gamma содержит A, K и направление BD = (0;1;0). Нормаль к плоскости: n = AK * BD = (-4sqrt(2);0;4) * (0;1;0) = (-4;0;-4sqrt(2)), что пропорционально (1;0;sqrt(2)). Уравнение плоскости gamma: x + sqrt(2)z - 3sqrt(2) = 0. Найдём сечение — пересечение gamma с рёбрами пирамиды. Ребро SB: точки вида (0;3sqrt(2)t;6 - 6t). Подставляем: sqrt(2)(6 - 6t) = 3sqrt(2) => t = (1)/(2). Точка M = (0;(3sqrt(2))/(2);3). Ребро SD: аналогично, N = (0;-(3sqrt(2))/(2);3). Сечение — четырёхугольник AMKN. А) Перпендикулярность диагоналей. AK = (-4sqrt(2);0;4), MN = (0;-3sqrt(2);0). Скалярное произведение: AK * MN = 0 + 0 + 0 = 0. Следовательно, AK MN, то есть диагонали четырёхугольника AMKN взаимно перпендикулярны. Б) Объём пирамиды C-AMKN. |AK| = sqrt(32 + 16) = sqrt(48) = 4sqrt(3). |MN| = sqrt(18) = 3sqrt(2). Диагонали пересекаются в точке (0;0;3) (при t = 3/4 на AK и в середине MN). Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: S_(AMKN) = (1)/(2) * |AK| * |MN| = (1)/(2) * 4sqrt(3) * 3sqrt(2) = 6sqrt(6). Расстояние от C = (-3sqrt(2);0;0) до плоскости x + sqrt(2)z - 3sqrt(2) = 0: d = (|-3sqrt(2) - 3sqrt(2)|)/(sqrt(1 + 2)) = (6sqrt(2))/(sqrt(3)) = 2sqrt(6). Объём: V = (1)/(3) * 6sqrt(6) * 2sqrt(6) = (1)/(3) * 12 * 6 = 24. Ответ: А) Диагонали AK и MN сечения взаимно перпендикулярны, так как AK * MN = 0. Б) V = 24

24