Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию TMNK, касается её боковых сторон в точках E и F. MT = NK, EF = 8, S_(TMNK) = 125. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию TMNK.

Пусть MN = a, TK = b — основания трапеции, r — радиус вписанной окружности, h = 2r — высота, O — центр окружности. 1) В тангенциальную трапецию вписана окружность, поэтому MT + NK = MN + TK, откуда длина боковой стороны MT = NK = (a+b)/(2). 2) По свойству касательных, проведённых из одной точки, ME = (a)/(2) и TE = (b)/(2). 3) Биссектрисы OM и OT внутренних углов трапеции при вершинах M и T образуют прямой угол MOT = 90^ (сумма соответствующих углов трапеции равна 180^). В прямоугольном треугольнике MOT радиус OE MT — высота к гипотенузе, поэтому r^2 = ME * ET = (ab)/(4), то есть ab = 4r^2. 4) Точки E и F симметричны относительно оси трапеции и лежат на одной горизонтали. Прямой расчёт даёт |EF| = (2ab)/(a+b). Из EF = 8: ab = 4(a+b). 5) Площадь трапеции S_(TMNK) = (a+b)/(2)* 2r = (a+b)r = 125. Из (3) и (4) получаем 4r^2 = 4(a+b), значит a + b = r^2. Подставляя в (5): r * r^2 = 125, r^3 = 125, r = 5. Ответ: 5.

5