Задача №17155

Пусть $MN=a\text{,}$ $TK=b$ — основания трапеции, $r$ — радиус вписанной окружности, $h=2r$ — высота, $O$ — центр окружности.

1) В тангенциальную трапецию вписана окружность, поэтому $MT+NK=MN+TK\text{,}$ откуда длина боковой стороны $MT=NK=\frac{a+b}{2}\text{.}$

2) По свойству касательных, проведённых из одной точки, $ME=\frac{a}{2}$ и $TE=\frac{b}{2}\text{.}$

3) Биссектрисы $OM$ и $OT$ внутренних углов трапеции при вершинах $M$ и $T$ образуют прямой угол $\angle MOT=90^{\circ }$ (сумма соответствующих углов трапеции равна $180^{\circ }$). В прямоугольном треугольнике $MOT$ радиус $OE\perp MT$ — высота к гипотенузе, поэтому $r^2=ME\cdot ET=\frac{ab}{4}\text{,}$ то есть $ab=4r^2\text{.}$

4) Точки $E$ и $F$ симметричны относительно оси трапеции и лежат на одной горизонтали. Прямой расчёт даёт $|EF|=\frac{2ab}{a+b}\text{.}$ Из $EF=8\text{:}$ $ab=4(a+b)\text{.}$

5) Площадь трапеции $S_{TMNK}=\frac{a+b}{2}\cdot 2r=(a+b)r=125\text{.}$

Из (3) и (4) получаем $4r^2=4(a+b)\text{,}$ значит $a+b=r^2\text{.}$ Подставляя в (5): $r\cdot r^2=125\text{,}$ $r^3=125\text{,}$ $r=5\text{.}$

Ответ: $5\text{.}$